sin m~ g^ t.\ [pi) dm ; I , Savam étrangers. 1 66 MÉMOIRE et, en introduisant dans cette dernière la fonction F à. la, place de ^[/ par le moyen de la première équation (57) , on trouve . En supposant que F i"^) n'ait de valeur sensible que pour de très-petites valeurs de -sr , on réduit la formule précédente à (62) qz=.-^ — / sni a^e^/.cos M,.v.^'"> -^ Cette dernière équation coïncide avec la seconde des équa- tions (60), lorsqu'on donne à j de très -petites valeurs , et qu'on néglige les quantités du second ordre. Elle se réduit a f = o , lorsqu'on donne à j de très-grandes valeurs négatives. La valeur générale de t] étant déterminée comme on vient de le voir, on déduira facilement des équations (27) les va- leurs des trois inconnues u, V, p. Ce calcul n'ayant aucune difficulté, je vais passer à la se- conde des deux hypothèses mentionnées ci-dessus , dans la- quelle on a b = o, (2o = ^(^). S. 6.' En admettant la seconde hypothèse , ou , ce qui revient au même, en supposant F(a) = o, on trouve d'abord que la fonction 4^ ('") '^o'' disparaître en- tièrement du calcul. Par suite , les équations (54 ) deviennent (64)i SUR LA THÉORIE DES ONDES. ôy <7 = s y cos mx . e "'■>' cos ii!-g~l .

' dfx Kl — — y cos fx'g't .cos fXX .dfX On déduira facilement de ces dernières les valeurs des autres inconnues dans l'hypothèse que l'on considère. S- 7.*^ En réunissant les valeurs de ^ et de (2 trouvées dans les 5.* et 6.* paragraphes, on a (^7) /*=oo; 68 MÉMOIRE q=. -^ — f sin iA.~g~t. cos /xx .ef^->' -^H fcos fx~g^t. cos /xx .e'^^'J/x, ^ Gg^J^ f . :l 1- dij. H /■ j._L , (^rr: Jsinfx^g't. cos //C.v . -7H y cos/x-g-t . cos ^a.v .(;«,/;) -{-s in (/;r-l-/j^)+ff=-/.^ {m, ri) , — J- J. J. e C,{!ii,ii)-i-e Ç {m, ri): d'où l'on conclura ^ [m, 11) =^ , ^ (w, ") = o. Au reste, l'équation (^{m , n):= o peut aussi être déduite directement de cette considération que , pour des valeurs in- finies de t, les quantités Q, U, V, l^ ne doivent pas devenir infinies. Enfin , si la disparition des fonctions arbitraires ^ ('",") - ^{'"> ") n^ paraissait pas suffisamment établie par les considérations précédentes, on pourrait lever toute incer- titude à cet égard, en opérant sur les intégrales elles-mêmes, SUR LA THÉORIE DES ONDES. 7I au lieu d'opérer sur les fonctions qu'elles renferment [voye? la note xii]. La disparition des deux fonctions ^ [m, 11), ^ (w, h), ré- duit les valeurs de ii[cos{m--^n-)'^g^t.<^{m,ii)-i-sin{fn--hrr-)'ig-t.-^[in,!!)] dm dti. Par suite, la seconde des équations (45) donnera pour la valeur générale de y relative à la surface !— — I ] cos (m'' -\-n'-)i g'- 1. Xltii, ri) I 1 ^ \ {m'-\-ir)uhn d n : — sin {m^ -H n')^ g'^ t . et •vj/, les deux équations F{û,c)z=z^~-Effcosmû.cosnc.^{ni,n).{m'--\-!i")^dmd/i,i ,„--o ,„— o« (70) { g'-f" \ ' ' éF [û, c)^=. Sy/'cos ma cos //r . Ç (m, ti) . ^m <^/;. Supposons qu'au moyen de ces dernières on introduise dans les équations (76) les fonctions F et cF , au lieu de ^ et de <^ : les valeurs générales de ^ et de <2 deviendront [voyez '^ note xi] (8o) 72 MEMOJRE 1 i' = o, ii^cc; p= — ce, _p = oo. \Qz^- — -ffff sin[fA.v)*g -t. sin)i .cos- ^^-^— /■ [-^y f) d-srdf -^——^ ^Jfff cos [ix v) Vr . sin V . cos ^ '""""^ '^ ^^^^ ^^ ^K, f)d-ardfdf^,d, . Si l'action des causes motrices n'embrassait , dans Je pre- mier instant, qu'une très-petite étendue de surface adjacente à l'origine des coordonnées; les fonctions F{'sr, f), éF['Zir, f) n'auront de valeur sensible que pour de très-petites valeurs de -zr et de ^ : et si l'on fait, pour abréger, ( G z^ ff F {'zs- , f) d'zir d f , j H=ff,^\'^, f)d-^df, les équations (80) se réduiront à {82) (81) 7 = -^ — -//sin ftv 4 0'^r.sinv.cos^ — -^^^ .e'' "^ . -^ J 2w' JJ ^'- I o 4 ^_^^^_ j^ ) r = 0, ►=;oo. (2 = — f-r//sm(M-v)4^^ï.smv.cos^ — j^— . — ^ H :;^r-yy cos(/w.v)*g- ^.sin v . cos — .dixd\. Lorsque , dans la première de celles-ci , on suppose r =: o ; elle devient SUR LA THÉORIE DES ONDES. 73 ^„=r. //sinv.cos-^ — ^ — -^ dfx d^. ' 2. -n- ■' ■' 4 On peut aussi mettre cette dernière équation sous la forme suivante : do =: r ff sin v .cos u,.^ (a--Hc')' . ^lix di. Car il suffit pour cela de remplacer /a par — ^ —, ce qui ne change pas les limites de l'intégrale. Si , dans la valeur précédente de q., , on change /a en v, et qu'on ajoute la nou- velle valeur ainsi obtenue à la première , on trouvera pour la demi-somme (83)' ^— 1;>^//-'(^-*-^)- ^^'-^^''' -^^^^ \:=o;~i H (-b\ [ voyei la note iv ]. Z-TT (û=-t-^'^-*-<:')^ Cette dernière équation , étant parfaitement d'accord avec la formule (46) [I.''^ partie], confirme l'exactitude de notre analyse. Les valeurs générales de ^ et de Q étant déterminées par les formules (82), on en déduira facilement les valeurs des autres inconnues par le moyen des équations (26) et (45)* Ainsi , par exemple , l'ordonnée y de la surface aura pour valeur y zzz ^—Jj cos [fA, ^Yg-t . sin v . cos -^ — . dfx d^ (84) " _ 'ff sin {fAv)'^g--t.s'mv.cos ^""^^'''^ .{fxv)*d/A, d^. v:=0, k:=00. I . Savaiis étrangers. y4 MÉMOIRE Au reste, nous renvoyons la discussion de ces valeurs à la troisième partie. S. 9." Les formules précédemment trouvées fixent d'une ma- nière précise, à chaque instant, l'état du fluide que l'on con- sidère. Mais elles deviendraient insuffisantes, si l'on voulait comparer l'état du fluide, au bout du temps t, avec l'état initial. Au reste , il est facile d'établir cette comparaison , lorsque les diverses molécules fluides ne font que de très- petites oscillations autour de leurs positions primitives. En introduisant cette hypothèse dans nos formules, nous obtien- drons des résultats qui seront exacts, toutes les fois qu'ils seront d'accord avec l'hypothèse elle-mcme. Cet accord a effectivement lieu dans le cas que nous avons particulière- ment traité, savoir, celui où les causes motrices avaient peu d'intensité à l'origine du mouvement. En conséquence , on pourra, dans les équations ci-dessus trouvées, considérer les coordonnées x, y, i de la molécule m , au bout du temps t, comme ne différant de ses coordonnées initiales a, h, c que de quantités très- petites ; et, comme les inconnues que dé- terminent ces diverses équations sont déjà très-petites elles- mêmes , en négligeant les quantités du second ordre , on pourra, dans les valeurs de ces inconnues , remplacer immé- diatement X, y, 1 par a, h, c. On obtiendra de cette manière les vitesses , la pression , l'impulsion et l'ordonnée de la sur- face , exprimées au moyen du temps et des coordonnées ini- tiales. Il ne restera plus alors qu'à déterminer, en fonction du temps et de ces mêmes coordonnées , les coordonnées va- riables .V, y, 1. On y parvient de la manière suivante. Si l'on considère à-la fois les six quantités X, y, i, II, V , IV comme fonctions des quatre variables indépendantes SUR LA THEORIE DES ONDES. 75 on aura /o \ dx dy d? ^ '' dl dt dt et par suite, en supposant les intégrales prises depuis /nro, (86) x:=a-\-fudt , y=li-\-fvdt , i=^c-\-fwdt. Cela pose', comme les vitesses k, v, w se trouvent exprimées de la même manière, soit en û , b , c , t , soit en x,y, 1, t; il suffira, pour obtenir les valeurs de x , y , J en a, h, c, t, de substituer pour 11, v, 10 dans les équations (86) leurs va- leurs en X, y, 1, t, et de remplacer, soit avant, soit après l'intégration , x , y, i par a, h, c. Si dans la seconde des équations (86) on suppose la vitesse ^1 relative à l'un des points de la surface, on aura et par suite , en déterminant convenablement la constante introduite par l'intégration , — J_^ ^ gJ' dt' Cette dernière valeur de y est en effet l'ordonnée de la sur- face que donne la seconde des équations (45)- D'ailleurs, comme cette valeur est très-petite , il devient indifférent d'y remplacer , ou non , x et 1 par a et c , ainsi que le suppose la seconde des équations (86). Si l'on observe que les vitesses;;, v, w , multipliées par ^, et prises en signe contraire , sont respectivement égales aux différences partielles de la fonction (] par rapport à x, y, 1, et que l'on conçoive dans cette même fonction .v, y, 1 rem- placées par ^, ^, c; on trouvera que les équations (86) peu- vent être mises sous la forme suivante : 7^ MÉMOIRE les intégrales relatives à / devant toujours être prises depuis t= o. Si l'on veut faire abstraction d'une des trois dimensions du fTuide, il suffira de supposer I_ Jq_ J^ de Alors la valeur de i sera constante , et les valeurs de a et de/ seront toujours déterminées par les équations (86) ou (,87)- Résume. Si l'on suppose que, dans le premier instant, les impulsions appliquées à la surface du fluide et l'altération du niveau de cette surface aient été fort petites près de l'ori- gine des coordonnées, et tout- à -fait nulles à des distances sensibles de cette origine, on obtiendra les résultats suivans. i.° Si l'on se borne à considérer deux dimensions dans le fluide, en désignant par (88) l' — F{u), Q.=.ér{a) l'ordonnée et l'impulsion initiales relatives à la surface , et faisant, pour abréger, G ^=1 f F {-ar) d-zs- , i ^__j^ //;=z:/rJ7''(-ar) d-zir , ' '^=-i-oo , on trouvera, pour la valeur générale de l'impulsion (j , : J sm jLx,- g- 1 . cos /A,x . e .-7 (90) ; ^ ^ , -y COS /M,-^-f . COS/X,.V .£" . dfX . En faisant dans cette dernière yiiz. o , ou, pour mieux dire, en négligeant/, on formera la valeur générale de Q; et l'on obtiendra ensuite les valeurs des inconnues p , u , j; (8p) ^' 1 /* = o SUR LA THÉORIE DES ONDES. 77 relatives à tous les points de la masse fluide, ainsi que celles des quantités y, U . V qui se rapportent aux difFérens points de la surface, par le moyen des équations (27) et {^(î). Après avoir ainsi déterminé les valeurs des diverses incon- juies en fonction des coordonnées variables et du temps ; si l'on veut, à la place des coordonnées variables, introduire les coordonnées initiales, il suffira de remplacer dans les valeurs trouvées x par a , et / par h. De plus, on aura, pour déter- miner X et/ en a, h , t, les deux équations (pi) \^û-\-fudt. yr^b-\-J'vdî , dans lesquelles on doit considérer u et v comme fonctions de a, b, t, et prendre les intégrales depuis tz=zo. z." Si l'on restitue au fluide ses trois dimensions , les équations (88), (85») et (90) deviendront respectivement (92) h — F[a,c), Q-,—<^\a,c); (P3) G=:ffF{^, f) d^ df, H=ffS^\'^,f) d-ur dj> j IZ-Z', ^ZZ\ 1 rf := —2 — Il sm (avl* g^- 1 .smv . cos . e . H -ff cos {f/.\)'^g^- 1. smu cos- — j-^—-^ -^.di^di. En faisant dans cette dernière y z=i o , on trouvera la valeur générale de Q, et on obtiendra ensuite les valeurs des autres inconnues par le moyen des équations (26) et (45)- Enfin, si, au lieu d'exprimer les inconnues en fonction des coordonnées variables et du temps, on veut les exprimer en fonction du temps et des coordonnées initiales , il suffira de remplacer x, y, i par a, b, c , sans rien changer aux 78 MEMOIRE formules, et l'on aura en outre, pour déterminer les valeurs de X, y, len a , b , c, t , les équations (pj) x-=^a~\-fudt , yz^zb-\-fvdt , izzizc-^-fwdt , dans lesquelles on doit considérer u, v, w comme fonctions de d, h, c, t, et prendre les intégrales depuis tzzzo. SUR LA THEORIE DES ONDES. yp TROISIEME PARTIE. ^^^^^^#^#' «\^>r ^ LOIS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT DES ONDES. Section I.'" Du cas oh l'on ne considère que deux dimensions dans un fluide. §. i.^'' Imaginons que le niveau naturel d'un fluide ait cte altéré dans une portion de sa surface par une cause quel- conque, et qu'au moment d'abandonner cette portion de sur- face à elle-même , on ait appliqué à chacun de ses points une impulsion déterminée. Si l'on rapporte le plan du fluide à trois plans rectangulaires ayant pour intersections les a\es des X, y &t 1, et si l'on choisit pour plan des x et i celui qui termine, dans le premier instant, les parties du fluide dont le niveau n'a point été altéré ; on pourra concevoir que toutes les sections parallèles au plan des x , y aient subi dans leur niveau les mêmes altérations , et aient été soumises à des impulsions égales. C'est ce qui arriverait , par exemple , si l'on mettait le fluide en mouvement, en y plongeant, pour le retirer ensuite, un cylindre d'une longueur indéfinie et dont l'axe serait parallèle à celui des i, ou bien en frappant la surface du fluide avec le même cylindre mis en mouvement par une force perpendiculaire à son axe. Dans cette hypo- thèse , les molécules du fluide , qui seront semblablement situées dans des plans parallèles à celui des x,y, devront se mouvoir de la même manière ; et par suite , pour fixer les 8 O MÉMOIRE iois du mouvement, il suffira d'avoir égard aux molécules comprises dans le plan vertical des .v, y. Afin d'obtenir des lois régulières à peu de distance de l'origine des coordonnées, nous supposerons que les impul- sions primitivement appliquées à la surface du fluide, et l'al- tération de son niveau, étaient fort petites près de l'origine, et tout- à-fait nulles à des distances sensibles. Cela posé, on trouvera les résultats suivans. S. z." Les impulsions appliquées à la surface se commu- niqueront en partie aux diverses molécules de la masse fluide, et il en résultera dans l'instant même, pour chaque point, une impulsion et des vitesses déterminées parallèlement aux axes des A et/. Pour des points situés à une distance sensible de l'origine des coordonnées , cette impulsion et ces vitesses seront déterminées par les équations (l) ■ïï{a'' ^b^) f H 2 a {-b) ■nS^ {a^- ^b^) H a- ■■—b' Vo ■71 S' (. !=-+-/-=) \yoyei la I." partie , section III.^] , dans lesquelles a , h repré- sentent les coordonnées d'un point quelconque , ^ la densité du fluide , et // la somme des produits qu'on obtient en multipliant chaque élément de surface par l'impulsion qui lui est appliquée , ou , ce qui revient au même , le produit de l'impulsion moyenne par la portion de surface soumise à l'action des forces impulsives. L'impulsion et les vitesses sont donc proportionnelles à la portion de surface dont il s'agit, ainsi qu'à l'impulsion moyenne. De plus, les vitesses sont en raison inverse de la densité. Mais elles sont, ainsi que l'impulsion, tout-à-fait indépendantes de la forme ini- SUR LA THÉORIE DES ONDES. 8l tlale de la surface à laquelle on peut se dispenser d'avoir égard , et de la loi suivant laquelle l'impulsion moyenne était distribuée sur les différens points auxquels son action devait s'étendre. Si l'on désigne par m la molécule dont a et b sont les coordonnées initiales, par r^ sa distance à l'origine, et par 60 l'angle que fait cette distance avec le prolongement de l'axe des y au-dessous du plan des .v et 1 ; on aura a ■=. fa sin ôo , ( — /') = To cos ô^, : et par suite, les équations (i) deviendront H cos e„ ■n ' 1 H sinaSo 7tf' r„= ' H cos 2 60 ■7! à' To * Soient maintenant R„ la résultante des deux vitesses lu et i',,, c'est-à-dire, la vitesse de la molécule m dans sa propre direction , et ^„ l'angle que forme cette direction avec le prolongement de l'axe des y. On aura '3) \ tang/o = — —= tang 260, et par suite /o=::2 Go. Il suit de ces dernières équations , i .° que la vitesse abso- lue reste la même pour tous les points situés à égales distances de l'origine des coordonnées; 2.° que cette vitesse décroît en raison inverse du carré de la distance à l'origine , en sorte que pour de grandes distances elle devient insensible; 3. "que sa direction forme, avec la ligne menée du point que l'on I . Savam âratigcn. L Si MÉMOIRE considère à l'origine des coordonnées, un angle égal à celui que forme cette dernière ligne avec la verticale. Ainsi , par exemple , la vitesse est verticale et dirigée de haut en bas , comme on devait le présumer, pour tous les points de l'axe vertical des y. Elle devient horizontale dans tous les points d'une ligne qui, passant par l'origine des coordonnées, serait inclinée à 45 degrés (ancienne division'). Enfin elle est ver- ticale, mais dirigée de bas en haut, pour tous les points situés à la surface du fluide. Cette dernière conclusion paraît d'abord assez singulière, puisque, auprès de l'origine des coordonnées, les molécules doivent nécessairement descendre en vertu des impulsions appliquées à la surface. Mais il faut remar- quer que les équations (3) s'appliquent uniquement aux mo- lécules situées à une distance sensible de cette origine, et que l'abaissement des unes doit être compensé par l'élévation des autres. On peut encore déduire des équations (2) et (3) plusieurs conséquences assez curieuses. Ainsi, par exemple, on recon- naîtra sans peine que l'impulsion, ainsi que les vitesses, est insensible à de grandes distances ; que cette même impulsion est nulle pour tous les points de la surface (sensiblement éloignés de l'origine des coordonnées), ce qui est une suite nécessaire de la manière dont on a posé la question ; que la vitesse horizontale , lorsqu'elle existe , tend à éloigner les molécules fluides de l'axe vertical des/; enfin que la vitesse verticale est négative pour toutes les molécules situées au- dessous de la ligne qui, passant par l'origine des coordonnées, s'incline de 45 degrés à l'horizon , et positive pour toutes les autres; en sorte que les premières descendent, tandis que les autres montent. Il est aisé de s'assurer que les formules (2) sont homogènes, c'est-à-dire, qu'elles ne changent pas lorsqu'on fait varier l'unité de mesure, de temps Ou de densité. En effet, H est SUR LA THÉORIE DES ONDES. 83 le produit d'une impulsion déterminée par une portion de la surface fluide, qui , dans le cas présent, se réduit à une ligne. Par suite, — équivaut à une impulsion; ce qui prouve que les deux membres de la première équation (2) sont homogènes l'un par rapport à l'autre. De plus , une impulsion , étant le rapport d'une quantité de mouvement à une surface , doit être considérée comme le produit d'une vitesse par une ligne et par une densité. Par suite, l'impulsion , divisée par la ligne r^ et par la densité J^ , équivaut à une vitesse , ce qui s'accorde avec les deux dernières des équations (2). S. 3.^ Après avoir fixé les lois suivant lesquelles le fluide commence à se mouvoir , je vais examiner suivant quelles lois ce mouvement se continue et se propage d'un instant à l'autre. Dans cette recherche, on ne peut plus faire abstraction de la forme initiale de la surface qui a une influence sensible sur les valeurs des inconnues; et l'on doit, en conséquence, admettre deux causes du mouvement, savoir, i." l'altération primitive du niveau du fluide dans une petite portion de sa surface, 2.° l'action de forces impulsives appliquées à la por- tion dont il s'agit. Au reste, on a fait voir dans la seconde partie [section m, §. 4-^] que, pour obtenir les valeurs des inconnues dans le cas où les deux causes sont réunies , il suflit d'ajouter entre elles les valeurs que chacune des causes déter- minerait séparément. C'est pourquoi je me contenterai d'exa- miner, l'une après l'autre, les deux hypothèses que l'on peut faire sur la manière dont le fluide a été mis en mouvement. §. 4-^ Supposons d'abord que le mouvement du fluide ait été produit par une petite altération de niveau dans les points de sa surface situés tout près de l'origine des coordonnées. Les vitesses seront nulles dans le premier instant. Mais , le temps venant à croître, elles acquerront bientôt une valeur * 84 MÉMOIRE sensible. Alors chacun des points de la surface du fluide s'é- Jevera ou s'abaissera d'une certaine quantité au-dessus ou au- dessous du niveau moyen ; et l'on verra se former ainsi de petites ondes dont les sommets se trouveront déterminés par les points dont l'élévation ou l'abaissement sera un maximuni. La vitesse avec laquelle ces sommets changent de place , est ce que nous nommerons la vitesse des ondes. Elle doit être soigneusement distinguée de la vitesse propre aux molécules situées à la surface du fluide, et peut être fort différente. Nous verrons, en effet, que la vitesse des ondes croît indé- finiment , tandis que celle des molécules reste toujours com- prise entre des limites très-resserrées. Nous avons fait voir ci -dessus [IL* partie, L""^ section, S. 5.* ] qu'à une époque quelconque on pouvait se repré- senter le mouvement du fluide comme instantanément pro- duit par l'action de forces impulsives appliquées à sa surface. Dans cette hypothèse, il existerait pour chaque point de la ?nasse fluide une impulsion déterminée , dont la valeur ex- primée en fonction des coordonnées variables x , y çt d\x temps / est (4) f=-^/sni^^^^?.cos^.v.f'^.-^ '^-° g désignant la force accélératrice de la pesanteur, ^ la den- sité du fluide, et G la somme des produits qu'on obtient en multipliant chaque élément de surface par l'ordonnée corres- pondante. G représente donc la section d'eau soulevée par suite de l'altération du niveau dans une portion de cette même surface. Pour obtenir la valeur <2 de ^, relative aux différens points de la surface , il suffit de négliger dans l'équation (4) la valeur de y , ou, ce qui revient au même , de supposer dans cette équation yzzzo. On aura donc SUR LA THEORIE DES ONDES. 85 (5) <2=-^/sin/^^^^f.cos^.v.-^ I ^^^ Lorsqu'on n'a pas dessein de comparer entre elles les po- sitions successives d'une même molécule fluide , on peut se contenter d'exprimer les diverses inconnues du problème en fonction des coordonnées variables et du temps. Dans le même cas, les seules inconnues dont il faille joindre les va- leurs à celles de (/ et de Q pour fixer dans tous les instans l'état de la masse fluide et celui de sa surface, sont, pour un point quelconque, la pression p avec les vitesses ;/ , v dans le sens des coordonnées, et, pour un point de la surface, les vitesses U , V et l'ordonnée y. Nous ne parlons pas de la pression à la surface du fluide , parce que nous la suppose- rons constamment nulle ; et d'ailleurs, nous avons prouvé, dans la seconde partie, que les lois du mouvement restaient les mêmes , soit que la pression à la surface fût égale à zéro, soit qu'elle fût constante , ou , même , fonction du temps. Quant aux autres inconnues , leurs valeurs se trouvent déter- minées, en fonction de ^ et de (2 < par les deux groupes d'é- quations (6) cA dx ' 1 dq ~Fd} ' dq v=±-^ë^)y> y ;cA dt (7) ( ^ = -7/^' gS^ di-- ' 86 MEMOIRE Toutefois il est bon d'observer qu'on peut déduire immédia- tement les vitesses à la surface U et V des valeurs générales de u et de î' , en faisant dans ces dernières y^=z o. On reconnaît facilement à la seule inspection des formules (4), (5), {6) et (7), i.° que l'impulsion et les vitesses sont nulles dans le premier instant ; 2." que ces trois quantités s'évanouissent encore pour de très- grandes valeurs négatives de y, c'est-à-dire, pour les points situés à une très-grande profondeur dans la masse fluide; 3.' qu'elles sont propor- tionnelles à la section d'eau soidevée dans le premier instant. Qiiant à la pression p, elle est composée de deux termes. L'un de ces termes , savoir, — ig^)y. représente la pression qui aurait lieu si le fluide était en repos, et croît indéfiniment avec la profondeur. L'autre terme d t est proportionnel à la quantité d'eau soulevée dans le premier instant, et s'évanouit lorsqu'on s'abaisse d'une quantité con- sidérable au-dessous du niveau de la surface. Enfin on peut remarquer que la pression et l'impulsion sont proportion- nelles à la densité, tandis que les vitesses en sont indépen- dantes. On démontre facilement l'homogénéité de l'équation (4). En effet, si dans cette équation on remplace ^ par- — - , ce qui ne change pas les limites de l'intégrale, on trouvera (0) <7 m — / sm u,' . cos ju. — . e . — - Dans cette dernière, gi' désignant le double de l'espace SUR LA THÉORIE DES ONDES. 87 parcouru par un corps grave pendant le temps t, — — et — — ^-^ sont évidemment des nombres abstraits. Par suite , i'intégrale elle-même est un nombre indépendant de l'unité de temps, de mesure ou de densité. De plus, — représente une surface divisée par un temps , ou , ce qui revient au même, le produit d'une vitesse par une ligne; et par suite, — J\ doit représenter une impulsion, ainsi que la formule le suppose. Lorsque dans la dernière équation (6) on suppose y égale à l'ordonnée de la surface , on a , en vertu de la première / > l dq équation (7), y zzz —r — 7—, et par suite p =z o ; ce qui est une suite nécessaire de la manière dont on a posé la question. Enfin, si dans les équations (4), (5), [6) et (7) on change .V en — .V, les inconnues ij, Q, p, y, v et y ne changeront ni de signe ni de valeur; et les vitesses horizontales u , U conserveront la même valeur , mais changeront de signe. Il suit de là que le mouvement du fluide est symétrique de part et d'autre de l'axe des j. C'est pourquoi nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, à fixer le mouvement des molécules qui correspondent à des valeurs positives de .v. §. 5."^ Si, après avoir développé les seconds membres des équations (7) , on remplace, dans les valeurs générales de Q, y, U, V, la variable ^ par — ^ ; et que l'on fasse en outre, poiu' abréger , 88 MEMOIRE on trouvera Q =:_^/sin/^'.cos^.-^, V rz: •— — r— / ces /U,- , cos — -, .du., (lO) ( ^ u z=i f siii lA.- . sin — 7 . /M-- «/m- p^ zi:z f s'in u- . cos — y • f^' ^t^ Si maintenant on fait f cos^t- .cos — - • '^f^ -— ^ f^K , Zk ^ ies équations (lo) deviendront Q — —--^ J ^ -1' (•0 ' K z= zGk rrgt^ zGki ■Ttgf^ /^Gh- j j z (j « ' r d(hK) d k h dK H reste à déduire des équations précédentes ies diverses circonstances du mouvement des ondes. Comme, en vertu de ce qu'on a dit ci-dessus, ce mouvement est symétrique de part et d'autre de l'axe des y, il suffira de considérer ies points pour lesquels l'abscisse .v, et par suite la valeur de k, est positive. Dans cette hypothèse , la valeur de K pourra être mise sous la forme suivante : (12) A' r=:/cos (2 ^ ^)' . cos /a. J/A | _ _^ SUR LA THÉORIE DES ONDES. 89 Si, pour un instant déterminé, on veut fixer le nombre et fa position des ondes à la surface du fluide , il faudra con- sidérer le temps comme une constante, et chercher les valeurs de -v qui rendent la valeur de y un maximum absolu. Ces valeurs se trouvent déterminées par l'équation JJJ et la valeur de V sera de l'ordre ou, ce qui revient au même, de l'ordre en sorte que ces deux valeurs seront infiniment petites. Je ne pousserai pas plus loin cette discussion. Seulement, pour terminer ce que j'avais à dire au sujet des approxima- tions, je ferai observer que, dans le cas même où le niveau du fluide aurait été primitivement altéré sur une étendue de surface assez considérable autour de l'origine des coordon- nées , on trouverait toujours des portions de surface aux- quelles l'équation (26) serait applicable. Il suffirait pour cela de s'éloigner de l'origine à des distances assez fortes , pour que la quantité 4 {x—tr') S'' 4x tance comptée à partir de l'origine , et abstraction faite du fût très-peu différente de -y — ; 'sr' étant la plus grande dis I04 MIÉMOIRE signe , à laquelle l'aUération du niveau fût sensible dans le premier instant, et la valeur de x étant d'ailleurs très-consi- dérable relativement à celle de -ea- . S. 8." Si l'on voulait comparer l'état du fluide, au bout du 'temps /, avec l'état initial, il suffirait, conformément au S- 9-" de la troisième section [ 11.^ partie] , de remplacer dans les va- leurs des inconnues/^, ^, u, v, &c les coordonnées va- riables x,y, par les coordonnées initiales a et /'. Cette subs- titution étant effectuée, les valeurs de .v et de y en ti, b, t, seraient déterminées par les équations (35) x^^a-\-fndt, yz=:b-\-fvdt , dans lesquelles on doit prendre les intégrales depuis tzrzo. Comme les valeurs de u et de v, déterminées par les for- mules que nous avons fait connaître, sont alternativement positives et négatives , et toujours peu considérables ; les quantités fudt, fvdt seront elles-mêmes fort petites, et par suite les diverses mo- lécules de fluide feront seulement de petites oscillations au- tour de leurs positions primitives. §. ç)^ Je passe maintenant à la seconde des deux bypo- thèses que l'on peut faire sur la manière dont le fluide a été mis en mouvement; et je suppose que, sa surface ayant été dans le premier instant parfaitement de niveau, le mouve' ment initial ait été produit par l'action de forces impulsives très-petites, appliquées aux points de cette surface très-voisins de l'origine des coordonnées. Dans cette hypothèse, les mo- lécules fluides acquerront dès le premier instant des vitesses sensibles, dont nous avons déterminé la valeur, en parlant de l'état initial. De plus, il suffira, pour fixer au bout du temps î l'état du fluide et celui de sa surface , de remplacer SUR LA THEORIE DES ONDES. lOî les équations (4) et (5) du quatrième paragraphe par les deux suivantes <7 = "~"/ '^os fA.- g- 1 . cos /M. .Y . e'^^ d fx , H r - ~ y-y (3^) Ui =0 (^ z:= — J cos /x- g- r.cos fx.\ .d ix , en laissant d'ailleurs subsister entre les diverses inconnues les relations établies par les formules (6) et (7). La constante H, que renferment les deux équations {t,6), exprime, comme on l'a déjà remarqué, la somme des produits qu'on obtient en multipliant chaque élément de la surface fluide par l'im- pulsion qu'il a reçue dans le premier instant ; cette impulsion étant rapportée à l'unité de surface. H est donc la somme des impulsions que supportent les divers élémens chacun à raison de son étendue. C'est pourquoi nous désignerons dé- sormais cette constante sous le nom d'impulsion totale. En comparant les équations {^6) avec les équations (4) et (5), on reconnaîtra facilement que la plupart des lois rela- tives à la première hypothèse s'appliquent à la seconde , soit immédiatement , soit avec de légères modifications. Ainsi , par exemple , dans la seconde hypothèse, comme dans la première , le mouvement est symétrique de part et d'autre de l'axe des y. Dans les deux cas , l'impulsion et les vitesses s'évanouissent à de très-grandes profondeurs ; tandis que la pression croît indéfiniment , et finit par être sensiblement égale à celle qui aurait lieu , si le fluide était en repos. Dans le second cas en particulier, l'impulsion et les vîtesses restent constamment proportionnelles à l'impulsion totale supportée par la surface dans le premier instant. Enfin les vîtesses sont en raison inverse de la densité , tandis que la pression et l'impulsion en sont indépendantes. Si, après avoir substitué la valeur de Q dans les équations I , Sdi'ans étrangers. O 101$ MEMOIRE (7), on remplace, dans les valeurs de Q, y , U , V, f^ par -^, et que l'on fasse toujours, comme dans le S- y", ài^=.k, (37) . / cos ( 2 A ft ) ' . cos lA. d}A.-:z=.K ; on trouvera O = /^COS ft- . cos —: . d (A. , (3S) ( // i . ^ i^=co U =:: r — / cos M.- . sni — - . //.d fx , TT g- [■i à ■' 2 k V = — -—r,^ff<^osiA.- . cos ^ . ^ ^^ , ou , ce qui revient au même , 4//Â' dK (39) f/=: V z=. l^Hk^ dK 'g UiS' ' dk' 8Hk-' d(k'Yk) 'r+ O'i reconnaîtra facilement que ce mouvement est assujetti aux lois que je vais décrire. I." La vitesse de chaque onde est indépendante des impul- sions primitivement appliquées à la surface du fluide, et cette vitesse est proportionnelle au temps. 2." Les hauteurs des ondes sont réciproquement proportion- nelles , non plus aux carrés des temps , comme dans la pre- mière hypothèse , mais aux cubes des temps : elles diminuent donc plus rapidement dans le cas que nous considérons ici. 3.° Si l'on fait varier l'impulsion totale primitivement appliquée à la surface du fluide , la hauteur des ondes variera dans le même rapport. 4.° A égales distances de part et d'autre du centre du mou- vement, les hanteurs et les vitesses des ondes seront cons- tamment égales entre elles. 5.° Les vitesses des différentes molécules fluides qui font successivement partie d'une même onde, sont réciproquement proportionnelles aux quatrièmes puissances des temps. &c. ... Pour fixer d'une manière précise la hauteur des ondes à chaque instant et leur vitesse, ilsuflirade développer la valeur o8 MÉMOIRE (40 de / donnée par fa seconde des t^quations (39), et de résoudre l'équation (4o). On obtiendra facilement la valeur de y , si l'on connaît celle de , , . D'ailleurs , on déduit immédia- d k tement des équations (i 5) et (i d) les deux formules suivantes dJi_ _ _4il (4^')' (4^')' , o^ , dk — ' 4.5 ~*~ 6.7.8.9 8. 9. 10. II. 12. 13 -^^'-•■•' — -r= — fsin-Â'-i-cos- k-^-kico'i-k — sin-î-^)]H ,-fe cosa.M,- d f^., dont la première pourra être employée quand la valeur de k sera peu considérable , et la seconde dans le cas contraire. Dans ce dernier cas, on pourra, sans erreur sensible, négliger le terme — 7-/ f COS M. . M. - <2 M, { (2^)7-' "^ '^ \ ^ = 00, qui, abstraction faite du signe, est évidemment plus petit que I . — (2Â^)^ ± . 1 Quant à l'équation (4o) , si l'on y substitue la valeur de , tirée de la première des formules (4')' ^^ qu'on divise ensuite le premier membre de cette même équation par k , elle de- viendra (4,) ,-AAn.^IApL i^'-)' +&c....^o. ^^ ' 5 7-0. 9 9. 10. 1 1 . 12. 13 Si l'on désigne par X-, , X,, Â,, &c. . . . les racines de cette dernière équation, rangées par ordre de grandeur , on trouvera pour la première racine k, zzz i, 6j}) SUR LA THEORIE DES ONDES. 1 G C) Cela posé, la force accélératrice, qui pourrait être censée produire la vitesse de la première onde, sera à la force accé- lératrice de la pesanteur dans un rapport égal à (43) -^ = 0,597(53 Si l'on veut considérer des ondes qui soient relatives à des valeurs un peu considérables de k, on pourra, au lieu de l'é- quation (42.), employer la suivante [U) tang {k—. ^ — . qu'on obtient en substituant dans l'équation (4©) la valeur de -j-y tirée de la seconde équation (40' ^^ négligeant le terme qui renferme l'intégrale définie. Pour de très-grandes valeurs de k , la formule (44) se réduira sensiblement à tang ~ k:=L — i ; et l'on aura par suite (45) /;z=2(«— i)7r-4-i-7r, // étant le numéro d'une onde prise à volonté. Je ne m'étendrai pas davantage sur les diverses circons- tances du mouvement des ondes, considéré dans la seconde hypothèse. J'observerai seulement qu'en raisonnant comme dans la première, on déterminerait facilement les limites entre lesquelles les équations (38) et (35)) peuvent être considéi-ées comme suffisamment exactes. Q.uant aux valeurs de .v et de ^ en a, b, î , elles se trouveraient toujours déterminées par le moyen des équations (35). j I O MEMOIRE Section II. Du cas où l'on considère h-la-fois les irois dimensions du Jîuide. §. I .^'' Nous ferons pour le cas de trois dimensions les mêmes hypothèses que pour le cas de deux seulement , et nous obtiendrons alors des résultats analogues. Ainsi nous supposerons toujours que dans le premier instant le niveau de lasurface du fluide a subi de petites altérations, mais seulement près de l'origine des coordonnées, et que la portion de sur- face adjacente à cette origine a de plus été sollicitée au mou- vement par l'action de forces impulsives peu considérables. Nous prendrons à l'ordinaire pour plan des .v et i celui qui terminait primitivement les portions de la surface dont le niveau n'avait point été altéré, et nous trouverons alors les résultats suivans. S. 2.* L'impulsion et les vitesses initiales, dans toute l'é- tendue de la masse fluide, dépendront uniquement des im- pulsions appliquées à la surface , et nullement de la forme primitive de cette surface. Cette impulsion et ces vitesses , pour des points situés à une distance sensible de l'origine des coordonnées, seront déterminées par les équations m H {-b\ 2 9r ( <2' -H /'' -t- f ^ 2 T <^ ( a' -I- *' -H f = ) ' 2T{ — b)^/l, et négative dans le cas contraire , il en résulte que , si l'on imagine un cône droit vertical dont le sommet soit à l'origine des coordonnées, et dans lequel le rayon de la base soit à la hauteur comme la diagonale au côté du carré , toutes les molécules situées au dedans du cône commenceront par des- cendre, et les autres par monter. Celles qui seront comprises dans la surface du cône auront seulement des vitesses hori- zontales. I I 2 MEMOIRE La vitesse de chaque molcciile, mesurée dans sa propre direction , sera évideminent (47) («„^^-l»o^-^^fo')^= — — -^ , • Cette vitesse dépend donc encore uniquement de l'ordonnée b et de la distance (/z'' H- f-j^à l'axe des /. Enfin, comme, en vertu des équations (4é)> on a (48) ti'o c la résultante des vitesses horizontales lu et w^ passe néces- sairement par l'axe des y. II suit de ces diverses observations, que,- durant le premier instant, chaque molécule de fluide se meut uniquement dans le plan vertical qui passe par cette mo- lécule et par l'axe des y , et que le mouvement est le même dans tous les plans verticaux menés par l'axe dont il s'agit. Dans chacun de ces plans, les molécules s'éloignent du même axe avec une vitesse horizontale représentée par §. 3.' Si du mouvement initial on veut passer à celui qui subsiste au bout du temps /, on sera obligé d'avoir égard, non-seulement à l'action des forces impulsives primitivement appliquées à la surface du fluide , mais encore à l'altération de son niveau dans le premier instant. Au reste, comme, en supposant ces deux causes de mouvement réunies, on ob- tient, pour les valeurs des diverses inconnues du problème, les sommes des valeurs qui seraient dues à ces mêmes causes prises séparément , il en résulte qu'on peut se borner à consi- dérer successivement chacune des deux causes dont il s'agit. SUR LA THÉORIE DES ONDES. IIJ S. 4-' Supposons d'abord le mouvement du fluide produit par une petite altération de niveau dans les points de sa sur- face situés tout près de l'origine des coordonnées. Les vitesses seront nulles dans le premier instant. Mais, le temps venant à croître, elles deviendront bientôt sensibles , et pourront être considérées [voyei la II.'' partie , I." section] comme pro- duites à chaque instant par l'action de forces impulsives ap- pliquées à la surface. L'impulsion, qui, dans cette hypothèse, aurait lieu en chaque point de la masse fluide , peut être dé- terminée en fonction des coordonnées variables .v, jy, i et de / par l'équation (50) ^=^— T/sin (/xv)^^W.smv.cos .e .■ -, dans laquelle g désigne la force accélératrice de la pesanteur, ^ la densité du fluide, et G le volume de fluide soulevé ou déprimé par suite de l'altération primitive du niveau dans une portion de la surface adjacente à l'origine des coordon- nées. On doit observer que la constante G sera positive , si elle représente un volume de fluide soulevé, et négative dans le cas contraire. Pour obtenir la valeur Q de ^ relative à la surface, il fau- dra, dans l'équation (50), négliger la valeur de y, et l'on aura par suite (51) (2 = -^^ — // sin (^v)*^- r.sm v.cos . r . 2^' " '* (/"')'* Enfin les valeurs respectives des vitesses u, v, w et de la pression p , l'ordonnée y de la surface , et les vitesses de ses différens points , seront déterminées en fonction de ^ et de Q par les équations I . Savans étrangfrs. P il4 MÉMOIRE I d'i (5^) '"=-^,7 1 d q JTy' I dq l' p = T-ië^)y' (53) y — 1 dq ^<^ de ' u — dQ dx ' V — si' d'Q dt' ' w — i dQ L'inspection des équations qui prcccdeiit suffit pour montrer que les lois relatives au cas où l'on considère deux dimen- sions dans le fluide, subsistent aussi dans le cas où l'on con- sidère les trois dimensions à -la -fois. Ainsi, par exemple, l'impulsion et les vitesses sont constamment proportionnelles au volume d'eau soulevé. De plus, elles s'évanouissent à de grandes profondeurs, c'est-à-dire, pour des valeurs infinies négatives de la variable y; tandis que la pression p croît in- dériniment avec la profondeur, et finit par obtenir la même valeur que si le fluide était en repos. En examinant de quelle manière les coordonnées s, y, i entrent dans les valeurs des impulsions (] et Q, on reconnaît facilement que ces impulsions dépendent uniquement des deux quantités / et (a- H- 2')^. c'est-à-dire, de l'ordonnée verticale du point que l'on con- SUR LA THÉORIE DES ONDES. IIJ sidère, et de la distance de ce même point à l'axe des y. Par suite, les vitesses verticales v , V , la pression j> , et l'ordonne'e y de la surface , dépendent uniquement des deux quantités dont il s'agit. De plus, si l'on désigne par q' et Q' les dérivées respectives de <; et de Q considérées comme fonctions de (A''-i- <;')', les équations (52) et (53) donneront (54) I w (55) » et de (.v--|-^*)"; 2.° que cette résultante passe par l'axe des y. Les équations (5 5) four- niraient des conclusions analogues. On peut donc affirmer que, pour toutes les molécules situées soit dans l'intérieur du fluide, soit à sa surface, le mouvement a lieu dans des plans verticaux passant par l'axe des _y, et qu'il est symétrique autour de cet axe, c'est-à-dire, absolument le même pour les points situés de la même manière dans les plans verticaux dont il s'agit. Ainsi, quel que soit le mouvement des ondes. I I 6 MÉMOIRE nous savons déjà qu'il doit être circulaire. L'expérience con- firme ce résultat. S. 5.* Puisque le mouvement des ondes reste le même dans tous les plans verticaux menés par l'axe des y, il en ré- sulte que, pour déterminer les lois de ce mouvement, il suf- fira de considérer les molécules situées dans le plan vertical des X et y. Pour toutes ces molécules , on aura j^z: o ; ce qui réduit l'équation (5 i) à (57) (2=-^— //sin(Acv)4^^r^rsmv.cos — . r \\^^ ,^^ Dans le même cas, la vitesse W étant nulle, il sera inutile d'avoir égard à la quatrième des équations (53). Mais les trois autres détermineront à chaque instant l'ordonnée de la sur- face, ainsi que les vitesses horizontales et verticales des mo- lécules qui en font partie. Si, dans l'équation (57), on change ju, en — ~, ce qui n'altère point les limites de l'intégrale, et que l'on fasse pour abréger (58) A--^; cette équation deviendra Q rr: -J J sin 2 ( ^ V ) * A - . sin v . cos yw. . Comme rien n'empêche d'échanger entre elles, dans cette dernière équation, les variables /w. et v, on peut y remplacer sin V . cos u. par sin ft.cos v, ou même par '-- ^ =4- Sin (/xH-v). SUR LA THÉORIE DES ONDES. 117 Par suite, on peut mettre la valeur de Q sous la forme sui- vante : (50) Q= ^^^'^ //'sin2(/^v)^A^ .sin(;a-^-v). ^ . En substituant cette valeur dans la première des équations (j3) , on trouvera (^o) ^=i,^^./y cos2(av)4Â'.sin(/^-t-v).^,u^v ,;^^_^^^. et, si l'on fait pour abréger (61) £ = //cos2 (^v)T^^. sin(^-+-v).^A^^v, l,^^^,^^^ on aura S. 6.' Si maintenant on veut fixer la position des ondes à la surface du fluide, il faudra, dans l'équation (62), consi- dérer /comme constante, et chercher les valeurs de .v qui rendent y un maximum, abstraction faite du signe. Ces valeurs de x seront évidemment déterminées par l'équation d{k' E) = o ; dx ou , ce qui revient au même , par la suivante , Le premier membre de cette dernière équation étant unique- ment fonction de A_.. ^ , il en résulte que dans le cas de trois dimensions, comme dans Il8 MÉMOIRE celui de deux , le mouvement des ondes est uniformément accéle'ré. On reconnaîtra d'ailleurs facilement, par la seule ins- pection des équations [62) et (63), que ce mouvement a lieu de la manière suivante. i.° La vitesse de chaque onde (mesurée à son sommet) est indépendante du volume de fluide mimitivement soulevé ou déprimé. Elle est proportionnelle au temps. Par suite, les largeurs des ondes sont proportionnelles aux carrés des temps; et les zones qui leur servent de base, aux quatrièmes puis- sances des temps. z.° Les Iiauteurs des ondes sont en raison inverse des qua- trièmes puissances des temps. En comparant cette loi avec la précédente , on en conclut que le volume de fluide que chaque onde renferme demeure constant. C'est ce qui avait également lieu dans le cas de deux dimensions. 3.° La hauteur des ondes est proportionnelle au volume de fluide primitivement soulevé ou déprimé , et change de signe avec ce volume. S. 7.* Pour fixer d'une manière précise, à chaque instant, la hauteur des ondes et leur vitesse, il suffira de développer la valeur de v donnée par l'équation (62), et de résoudre l'é- quation [6^]. On obtiendra facilement la valeur de^, si l'on connaît celle de E, D'ailleurs , si la valeur de k n'est pas très- considérable , on déterminera aisément celle de E par le moyen de l'équation suivante [voye^ la note iv] : £ = iH) {zkf 6.7.8.9.10 — o, 00 15123 (7^0) -^°' °"°"i^' (â ~°' ^°''°°' - &.C. . -o, 027 ■4^='" •■] ^ ' \I00/ \I00/ &c. SUR LA THÉORIE DES ONDES. Ilp En comparant cette valeur de E avec la valeur de K dcter- mine'e par l'équation (i 5), on verra immcdiatementque, pour obtenir la valeur de £, il suffit démultiplier, dans celle de K , la puissance n de /; par „ (1.3. 5-...» 1, 3.5. T^ " :^^ X Par suite, si l'on fait on aura, en vertu de la note iv, [66) E — ff[^^^^\ '^^ 1'^ = ° OU, ce qui revient au mcme , (67) £=//'(/^ cosô).cos ô(^)'-'- S. 8."^ Si l'on voulait comparer l'état du fluide au bout du temps t avec l'état initial , il suffirait de remplacer dans' chaque formule les coordonnées variables x,y, 1 par les coordonnées primitives a, h, c. Quant aux valeurs de x, y, i en a, b, c, t , elles seraient déterminées par les équations ^ SUR LA THKORIE DES ONDES. 121 (72} x=:zd-\-fiuh , y:=:zù~{-fvJt , iziizc-^Jwdt. Jes intégrations ctant laites depuis î^=zo. §. ()^ Il ne nous reste plus qu'à déterminer les lois géné- rales du mouvement relatives au cas de trois dimensions, dans i'hypothèse où, la surface du fluide étant parfaitement de niveau dans le premier instant, le mouvement aurait été produit par l'action de forces impulsives très -petites, appli- quées à la portion de surface qui avoisine l'origine des coor- données. Pour fixer, dans cette hypothèse , l'état du fluide au bout du temps t , il faut substituer aux équations (50) et (5 1) les deux suivantes q zzz. —^ fj cos (/x -^Y gU.^nw . cos —--,'' -- .c'^ ' ^ Afx J» \ j !■ = O , )• r=; 00 Qzr: — -JJ cos [jjiiy^ g - 1 . s\ï\ t . cos — . dfx.d'i , en laissant subsister d'ailleurs, entre les diverses inconnues, les diverses relations établies par les formules (52) et (53). H désigne ici, comme dans les équations (4<^)> ce que nous avons nommé limpulsion totale. En partant des équations (73), on obtiendra des résultats analogues à ceux que nous avons trouvés ci-dessus [§. \.'^\ Ainsi, par exemple, on reconnaîtra facilement que les vi- tesses et l'impulsion dans un instant quelconque sont propor- tionnelles à l'impulsion totale, qu'elles s'évanouissent à de grandes profondeurs, &c. . . Déplus, il sera facile de prou- ver, comme on l'a fait dans un cas semblable [§. 4-^]. ^l'C les diverses molécules de fluide se meuvent dans des plans verticaux menés par l'axe des y , et que le mouvement est le même dans tous ces plans pour les molécules situées à la I , Savans étrangers. Q J22 MEMOIRE même distance de i'axe et de l'origine des coordonne'es. Il suit de là que, dans le cas que nous examinons, le mouvement des ondes est encore circulaire , et que, pour en déterminer les lois, il suffit de considérer les molécules fluides situées à la surface dans le plan vertical des .v et y. On a, dans cette hypothèse, 2^=0; et , par une transformation semblable à celle que nous avons employée ci-dessus [ §. J-'^], on réduit la seconde des équations (73) à (74) e=4$^£. E désignant à l'ordinaire la double intégrale 7/ cos 2 (;U,v) ■'•/-^.sin (/x,-f-v) ^yw. ^/v j/^ — o,/i_oc, On trouvera par suite pour .l'ordonnée de la surface • (75) y- T û-î f > y> Z: et ces dernières coordonnées se trouveront elles- mêmes déterminées en a, h, c, t, par le moyen des équations (7^)- Q* 1^1 NOTES. ^^#^^^■*^#^*^#■ ^ NOTE I. I ,A démonstration de l'équation (4), première partie, est fondée sur le théorème suivant : Si l'on Viipporte la position des sommets d'un parallilcpipcde a trois plans rectangulaires des x , y et ■^; que l'on dt signe par A, B . C les longueurs des trois arêtes de ce parallélépipède qui aboutissent a un même sommet , et par A. , B,, C, A.., B,., C^, Aj ) />; , Cj les projections respectives des mêmes arêtes sur les axes des x , y et r , le volume du parallclêpipcde aura pour mesure A,B^C,-~À.B,C. -+- À.B,C. — A,B,C, -h A,B,C\ — A,B^C, = S {± ■) ,B^C^l NOTE II. Le signey indiquant une fonction quelconque, si Ton connaît la valeur de l'intégrale ^..,,, j'Sr = — os 1 t l'a' ) a ti l J -' * ' -sr = -i-oo , il sera facile d'en conclure celles des intégrales r f i'o'' ^^- 2 mm -\- m'] d 11 1 -> J ^ ' J -ET = — oo prises entre les mêmes limites; ainsi qu'on va le faire voir. Soit, pour abréger, NOTES. 125 fa) f f{t sm/xa'/i^rt ^ r f i -4-^^ • j ^ J ix" -cosfx. dfx =zf:-V ^(' -+-^-7-')' //■^'"^"sin fx ^/*=: qz-V r T i -H ^^^^ , le signe supérieur devant être adopté toutes les fois que n est un nombre pair, et fe signe inférieur dans le cas contraire. A l'aide des équations (6), on obtiendra facilement les valeurs des intégrales f AI coi IX d ij. , fM^cos/xd/x, &c.... fMûnfxdfx, &c...., considérées comme limites des intégrales fMcosix.e-^''dix,fM^cosix..e-"'dix, &c... f AI sin fx.e-'"' dfx, &c... ; et l'on trouvera, toutes réductions faites, fMzosfxdix^o,fMûntxdy. = x~ ^|l±ij (4A^)_Hg!±|l (4^)'- &c , ^ Jy>,cos,^^^= -fu ^ûntxdix = -k'- [r(,-H±)-n^j(4^^^_H^^j(4r)'-&c.], i/^,cos^^^=.- .^ [--,-^-i|;±^ (4 A^)H- ii;±^ /^,cos^.^^ ,/..^sin^./^=-..^ [ii;±i; -n;±i; (4^)-.- '^^ [kn-^..\ R* ; 77- 152 NOTES. Si l'on observe qu'on a en général r (i-4-g) I \ ' / I I .}. . .(2 et les valeurs de K, et de A'j se déduiront des précédentes , ainsi qu'il suit : Les deux dernières équations {9) coïncident avec les équations ( 1 1 J de la note précédente ; ce qui confirme l'exactitude de nos calculs. La première des équations (9) et la première équation (10) four- nissent deux valeurs différentes de la fonction K , savoir , (•>) 1 4.5.6. 6.7.0.9.10 K= a; — AT, =^' /^^(sin U- -Hcos-l-i) —fe- '^-"^ cosyu ^^tc ; ce qui vérifie les équations (1 5) et ( 1 6) , troisième partie. NOTES. 133 Sclialk. Si, au fieu de chercher la valeur de l'iiuégrale / / cos ( 2 /: /^ ) =• cos ^a û'/x , \ u = °oo, 011 se proposait de trouver celle de l'intégrale cos( z k /x) •-coifj..e d/j. j ^, ^ ^ . il faudrait alors, au lieu des équations (5) , employer les équations (4)- Cela posé, on trouverait /- -au cos8 {4/i') cos;e {^ à')' cos 5 9 . « COS/U.f <7/X= ,- -\ ; H ; ■+• «C. (i-+-a)T 5.4.(,-Ha-)r 5 . (î .7. S (i-l-a^)T / /T/,COS;Ll.e rf/* = 1 J -t- &C. , et par suite , r ,,,-'- —au , cos a zk coSi9 {î'«)' cos 5 S 2) / COS (2 «//.) - COS/X.? d/z= ; ^ ' J (i-t-ocMi 2 i-t-^&c. 4L i 4 i 4 V4 / 2 4 ''' M / J T k (9) 1^6 NOTES. Si , dans cette dernière , on fait i-i) b étant négatif, on trouvera 2^- [fil]'- (7) //sin (^-+-v) c ("'-+-'")■ df^ch — — ! ^ ^-('^'-l-<■^; ce qui s'accorde avec l'équation (83) , seconde partie. Exemple 2.' Soit f [k fx) = cos [z'< /A,)- . On aura , en adoptant la notation de Ja note précédente , (8) S{B..k']=^K=.~ — ^^^-^ &c. ^ ' ' ' i 4'j-" 6.7.0.9.10 Cela pose , la seconde des équations (6) deviendra -!- ,i, ^-'- • , •. , , ^ f' r'{l -i--,) (2X)' F' I . -f- i ) , „ |/rcos2 = AMM0*-sin(M-t-v)^/x^v = -^.-^,/- _-_-A_._____H^c. ^r^ (,.;)" X' , (..3.5)' ^P ! ■■!) 2 L 2 I -z.î ' 4 ,s .5.6 1. 2. 3. i. 5*6. 7. 8. 9. 10 Si, dans cette dernière, on change k en zk, le premier membre sera l'intégrale définie que nous avons désignée par E dans la troi- sième partie du Mémoire , et l'on aura en conséquence (ici E^^ ff COS 2 k -fj.*\ii .sm\fj.-i-v)i/fji.i/v^=- \- r~2 ^ ' TT^ "+''3^c.J; ce qui s'accorde avec la formule (<>4). Corollaire. Si, dans la seconde des équations (6), on change k en zk , on trouvera (m) fff (ik,^'-^^-] smi^^r) di^dv = S\BA' ^-' r(,-^u) • On a d'ailleurs en général 6667 (-7^) < 1,6666667. Par suite , la somme totale de la série ne pourra , si elle est positive , surpasser le premier terme, c'est-à-dire, l'unité ; et la même somme , si elle est négative , ne pourra devenir inférieure à I — 1 ,6666667 ^ — o,666666y. (X k^ \ ) < I , c'est-à-dire k < ^ , la valeur de — - , abstraction faite du signe , sera plus petite f[ue l'unité. On aura donc alors, en prenant positivement la valeur de K, K < k. NOTES. Ijp Supposons maintenant que l'on ait A- > 5. Pour déterminer, dans cette hypothèse, la limite des valeurs de A', nous aurons recours à (a seconde des équations (11) [ note troisième ]. On tire de cette même équation (3) ^ = ;— (smy A -+- cos| A) — -fe cos fj. d/^. 1 k ' Dans cette dernière formule , sin f /!: + cos j k ne ])eut, abstraction faite du signe, surpasser sin h cos — = ^z , 4 4 ^ De plus on a évidemment, abstraction faite du signe, f e cos fj. il y. < f e '^ ' c/fj.= —-. Par suite , la valeur positive ou négative de -7— ne pourra surpasser Or , en supposant /: > 5 , on trouve On aura donc aussi , en faisant abstraction des signes , K Il suit de ce qui précède, que, pour toutes les valeurs réelles de la constante k, la valeur positive ou négative du rapport — - est tou- jours inférieure à i'unité ; en sorte que la fonction K a pour limite la quantité k. S* l4o NOTES. NOTE VI. Nous allons donner dans cette note la solution d'un probfènie d'analyse qui peut avoir de nombreuses applications. Voici en quoi if consiste. Problème. Etant données deux fonctions réelles de a , savoir , F. [a] et F^{a), trouver deux autres fonctions réelles de m , savoir , . Solution. Admettons pour un instant que chacune des fonctions conserve une valeur finie pour toutes les valeurs réelles et positives de a. If suffira, pour satisfaire aux équations (i) , de supposer !.W = — /^ '^' F,_{i^) smmix dij., C devant toujours être supposé nul après l'intégration. On peut s'assurer h posteriori , que dans ces dernières équations les intégrales relatives à [jl auront toujours une valeur précise et même finie pour des valeurs de € supérieures à zéro. En effet , cha- cun des produits /•, (j"j f cos m /J. , F^ {/J.) e sm m/x, ne peut évidemment devenir infini. Si donc l'on désigne par B' , B" , les plus grandes valeurs absolues de ces même^ produits , on aura toujours , abstraction faite du signe , Je F, {/Jl.) .cosm/j. d/j, < B fe d/ji.z=:-—, je F^[iJ.). i\n 7nix dix ^ ( /" , n ) sin am . sin en dmdn=^F [a ,c] . Solution. Si les quatre fonctions F,, F,, F,, F^ restent finies pour toutes les valeurs positives des variables a et c , on résoudra le pro- blème au moyen des quatre formules suivantes : (^) 0 = 3i//cosOT/x smnv.F^(fj., v] dfj.dv, ^=0,/t = OO <") = ^// sinOT/x iin nv.F^(iu,v)dfx du . Ces formules sont analogues aux équations (2) de la note précé- dente, et se démontrent de la même manière. Ainsi , par exemple , pour faire voir que la première formule satisfait à la première des équations ( i ) , il suffira de prouver que l'on a, entre les limites o et 00 de toutes les variables , (3) ////cosaw cosen cos m/j. cosnv.FXfj.,v) d/^ dv dm dnz=^ — F^ {a, e) 4 D'ailleurs , on peut considérer l'intégrale qui forme le premier membre de cette dernière équation , comme la limite dont s'approche l'intégrale suivante (4) ////( ~ "'" ~ ' " cos am .coscn .cosm/j..cosnv .F^(f/,,v) d/j. d\i dm dn , à mesure que ce et £ diminuent ; et comme on a, en vertu des équa- tions (6) [note précédente], J~ cosam coim/x f— "" dm = ^ - fcoscn cos nv e'" dn = \ ca^(,_..j. . NOTES. l47 on pourra réduire rintégrale (4) à cette forme plus simple ~ r r F { v^ "^ '^i" ^'^i' j ^= o , /ii = oo Cette dernière n'ayant de valeur sensible, lorsque cl et f deviennent très-petits , qu'entre des limites de y. très-voisines de a et des limites de V très - voisines de c, on peut, sans inconvénient, y remplacer ^■(M' '') par F^[a, c), ce qui la réduit à et, comme, dans le cas où et et ê s'évanouissent, chacune des inté- grales singulières J a--4-(^_„)' ' J f ^ H_ ( , _ < ) - est égale à 77, on trouve enfin pour l'intégrale cherchée ce qui vérifie l'équation (3) , et par suite la première des formules (2). Il sera également facile de vérifier chacune des trois autres. Pour que les formules (2) puissent être employées , il est néces- saire que les intégrales définies qui forment les seconds membres de ces formules aient une valeur précise et finie. C'est ce qui arrive générale- ment lorsque les fonctions F,{/j.,v), F,{/j,,v], F,{fji,,v), /'^(/*,v)'' restent finies pour toutes les valeurs réelles et positives des variables y. et V, et s'évanouissent pour des valeurs infinies de ces mêmes va- riables. Si ces conditions n'étaient pas remplies , les intégrales dont il s'agit pourraient devenir infinies ou indéterminées. Pour obvier à cet inconvénient, il suffirait de remplacer les quatre fonctions par les quatre suivantes /W. F, (,^, v), M,_F,_:fjL,v), Af^F^ {f^,v), Al^F^{f^,v); M, , A^,, M^, Af^ étant de nouvelles fonctions de /x, de v et de la constante arbitraire C, par le moyen desquelles les conditions énon- cées puissent être satisfaites, et qui se réduisent à l'unité, lorsqu'on suppose Ç=o. Au reste, on peut trouver pour ces nouveHes fonc- l48 NOTES. lions une infinité de valeurs différentes qui toutes jouissent des mêmes propriétés. On pourra supposer, par exemple, ^_^-f(/--t-v)-?['f.{/'.»)]' , ou bien '^.=-+'f[F.(/.,v)]' • &c. On pourra même , dans un grand nombre de cas , lever toute diffi- culté , en supposant simplement NOTE VIII. Nous allons dans cette note résoudre deux nouveaux problèmes qui ont beaucoup de rapport avec ceux dont nous nous sommes occupés dans les deux notes précédentes. Voici en quoi ils con- sistent. Problème i ." Etant donnée une fonction réelle de a , savoir , Fia), trouver deux autres fonctions réelles de m, savoir, (P,(ot) et 9,[m)' telles qu'on ait, pour toutes les valeurs réelles de la quantité a , (') f (p^[m) cos am dm -i- fip, (m) s'm am dm =^ F (a). j ~ __ Problème 2.° Etant donnée une fonction réelle de a et de c, savoir , F [a, c) , trouver quatre autres fonctions réelles de m et de n, savoir, Am,n) sin am cos en dm dn [ -t- ff

)-^ ^;" , ^'-&c... 1.2.;. 4 dx' 1.2.3.4.5,6.7.8 .cos-^^^7 — 'v.d/xdv^d6. Dans le dernier membre de l'équation précédente, on peut facile- ment effectuer les intégrations relatives à /x et à v, au moyen de la formule (4) [note II]; et l'on trouve, toutes réductions faites, ffcosfj.{n! — a)cosv[q — c).e a/^d* = ^/ ' i- -hi'zr — iiy -+■{ d6 :(^Ai ^fi-r^'di Cela posé, la formule (14) se trouvera réduite à [—i) .^ri; ! 1 d'aile ('ar = -oo,'Br = -i-oo, ce qui s'accorde avec l'équation (44) de la première partie du Mé- moire. Si , dans l'équation précédente , on suppose ( — b] très - petit , l'intégrale , ,, rt-i^ I \ [—h)d'ads' \,-a =— co , 'a-OO . (l6j ff3-['a,^) [i'-H (-sr -al '-t-(j>- '-!']• j> — — 00, j'=aD, NOTES. I5P n'aura plus de valeur sensible qu'entre des limites de m très-rappro- chées de a, et des limites de ç très-rapprochées de c. D'ailleurs , si l'on suppose les intégrations faites entre ces dernières limites , on aura à très-peu près, pour toutes les valeurs de 'w et de ç, et par suite //^•(.,ç) '-^^'^-^^ . ^^in,c]f/ ^-'^'-'' . . Enfin , comme -sr et ç doivent très-peu s'écarter de ^ et de f dans l'intégrale ('7) // T. on fera , pour remplir cette condition , (.8) I — -^^' et les nouvelles variables f, |, pourront alors obtenir des valeurs positives ou négatives très-considérables , pourvu que ces valeurs ne soient pas comparables à -r . Cela posé, l'intégrale (17) se réduira sensiblement à la suivante // ''''' prise entre de très - grandes valeurs négatives et de très - grandes valeurs positives des variables f et 'C,; c'est-k-dire , à très-peu près , à la même intégrale prise entre les limites Ç= — 00, Ç=-H 00 , 1 = — 00, | = -+-oo. De plus, si, dans cette dernière intégrale , on change successivement ?" . Çen* f Ç, et ^^ en — ^r > <^^ ■?"' n'altère pas les limites , elle de- viendra // '-Li^ =/-^^ ./ -^-^— = a - Donc enfin l'intégrale (16) sera 2rrSf{a, c] ; * Lisez J[ y/ (Ç') .lu lieu de ^ Ç ; et , deux lignes plus bas, v/(5')(/.). F W^^ = 7//cOS/x('5r — A)coS,*^^-/.FHâ''srû'/^. ^^_^^ ^ = Oo, Cette valeur de y est précisément celle que nous avons employée dans la seconde partie du Mémoire [équation (58)]. Quatricme exemple. Supposons qu'étant donnée l'équation de con- dition (22) -Zf cos am. :^ — CO , J' = OO ; la relation qui existe entre les fonctiçns g? et 9 étant déterminée par l'équation 3" [a, c) :=: s ff COS am . cos en .(p [m , n) d m dn . ! '" ~ ° Si dans l'équation (52) on remplace ? {m , n) par — ; — 4 ('«>«)•(?"" + n') * , on trouvera de la même manière "S. ff cos m;r.cos « ^.cos [m- -i~ n')'ig^t .-^[m , n] .(OT=-4-n=)+ <^ot ^'n i3)( ^'^ , = 7^/777 cos (/xi/)-i-j^/^-sin»-.cos ''°' ''' "^'-^ ^^ y»..F(-5r,g) dfxdv d'^ df_, pourvu que la fonction F soit donnée au moyen de 4 par l'équation m = o F[a,c) = — : — 'i-ffcosam.coscn.-\[in,n).[m'-¥-n-]'idm dn , c'est-à-dire, pourvu que les fonctions F et 4 aient entre elles la relation que suppose la première des équations (25). Si maintenant on intègre depuis ;= o les deux jnembres de l'é- quation (33), et que l'on fasse passer le diviseur g~' S^ en multipli- cateur dans le second membre de l'équation, on trouvera ^ff cos mx .cosni. sin {m'-+- n')'ïg^t. 4 {m, n] dm dn (34) l g-.j^ . ,T- • {'^-^YMj'-iY t7 I \ j j •^1^'^' - -T^^ffff ^^"^ if^") '^g't.smv.cos' '—^ t^^.Ff'Sr.ç) dmdç -, . En vertu des formules (52) et (34), la valeur de <2 donnée par l'équation (26) devient 1(^4 NOTES. du di (35) < ' , ,. '■"''* -4— ;-^•/y77'cos ( /^ y )^;g''^?. sin V cos ^^'^~'' "*" '■^~^' J*" .5^"(^,ç', //-sr^ç on peut y considérer /"(/« '- /{m) comme une seule fonction de m; et si, dans cette hypothèse, on détermine par la note précédente la valeur de l'intégrale sy"cos a m. y [m) [/[m) — f{"']] dm, on trouvera que cette intégrale se réduit h zéro ; ce qui vérifie l'é- quation [2). On prouvera de la même manière que l'équation (3) S ff co% am cos en. fi m, 7>] dm dn=:^ 2 ff cos, am cos cn.f[m, n) dmdn NOTES. 165 eiitraîne la suivante (4) Iffcosamco&cn.y {m, n)f [m, 7i)dmdn=zt ffcof.amcof.cn .y [m ,n] f [m ,11) dm dn. A l'aide de ces remarques, il est facile de prouver que, dans fa valeur générale de Q déterminée par l'équation (50) de la seconde partie du Mémoire, les fonctions '(,[m] et f [m] doivent disparaître. En effet, soit, pour abréger. e " i;{m)-i-e ^ {m) = f,{ m , t ) , ( cos m'^g^t.(p [m] -\-iin m"- o^ t . -^ [m] =f^[m,t) : l'équation (50) se trouvera réduite à (6) Q = Tf cos mx.[f,{m, t) -\-f,{m, t]] dm , et, comme elle doit s'accorder avec la première des équations (49) > on aura nécessairement sycos mx .f[m, t) dm = ^fcos ?nx.[j] (m, t) -\-f^ [m, ;)] dm , d'où l'on conclura, en vertu des principes qu'on vient d'établir, S/cos mx .f[m , t) m dm ^^= if coi mx . [/^ [m, t) -\-f^ [m, t)] m dm . Par suite, la troisième des équations (49) [ H-'^ partie du Mémoire] deviendra (7; V = — -^ 2, /cos mx.[ / {m, t) -i- f { m , t 1 ]m d m . On a d'ailleurs, en vertu des équations (45I [IL' partie, section il] En substituant dans cette dernière formule la valeur de Q donnée par l'équation (50) [II.° partie], on trouvera ( 8 ) F = — ^ 2 /cos mx . [/ [m, t) — /, y m , l) ] m dm . Pour que cette seconde valeur de V soit identique avec la première, il faut nécessairement que l'on ait (9] 1 fcoh mx .f^ [m , t] .m dm = o , et par suite (10) ^7" cos mx .f^ [m, 1] dm = o . Eii vertu de cette condition, la valeur de Q donnée par l'équation (6) dm 166 NOTES. se réduira simplement à , , ( Q='^fcosmx.f.{m,t)d ( = S /cos jTix [ cos OT-^-/.ip [m] -+- sin m-g-t.^ [m)] dm . Ainsi les deux fonctions arbitraires Z{m), |(ot), disparaissent complètement, et l'équation (50) se trouve réduite h la seconde des équations (54) [II-' partie]. En vertu de ce qu'on a dit ci-dessus, la condition (10) entraîne la suivante /« = ; { f I 2) 2 /cos mx . e "'J' / [m, t] d. d"où il suit que les fonctions arbitraires t,[m) , ?(w), doivent encore disparaître de la valeur générale de g , et que cette valeur doit se réduire à celle que fournit la première des équations (54)- En appliquant à la valeur générale de Q, déterminée par l'équa- tion (73) [II.'' partie] , des raisoiniemens absolument semblables à ceux qu'on vient de faire , on prouverait facilement que les deux fonctions arbitraires |(w, n], (^{m, n] , doivent complètement disparaître du calcul; ce qui réduit les valeurs générales de ^ et () à celles que fournissent les équations [jC]. NOTE XIII. Je terminreai ces notes par une remarque qui sert à confirmer la justesse de nos calculs. Si l'analyse que nous avons employée est exacte, les diverses valeurs que nous avons trouvées pour Q doivent satisfaire, dans le cas de deux dimensions, à l'équation et, dans le cas de trois dimensions, à l'équation suivante Par suite , l'ordonnée y de la surface et les vitesses U, V, W qui sont respectivement proportionnelles à plusieurs coefficiens différentiels partiels de la fonction Q , doivent aussi satisfaire aux deux équations dont il s'agit. On doit avoir en conséquence , , 'i'y , -l'y ^3) J?~^ê 77'=°' NOTES. 167 pour le cas de deux dimensions, et ,,, J^j , / 't'y , 'l'y \ pour celui de trois. Il est aisé de reconnaître qu'en effet les valeurs trouvées pour y satisfont aux équations précédentes. Ainsi, par exemple, en supposant les impulsions nulles h. l'origine, et la hauteur primitive des ondes fort petite , nous avons trouvé dans la troisième partie [l." section, §. 7.'] G A- . (5) ^=— •— ' — étant une constante , et la valeur de — étant donnée en série T X par l'équation . A' gt' g^ t' g^ /" ' J ~r T^ 4.;. 6.^1 •" 6.7.8.9. 10. j:' Cette dernière valeur de — vérifiant l'équation (3) , ainsi qu'on peut s'en assurer directement par la substitution , il en sera de même de la valeur de y. -)(- NOTE XIV. Sur les Phénomènes attribués dans le mouvement des ondes à l'action de forces impulsives. Nous avons dit que le mouvement d'une masse fluide pesante pouvait être censé produit, ou par l'action d'une partie de cette masse, d'abord soulevée ou déprimée, puis ensuite abandonnée à elle-même , ou par l'action de forces impulsives jirimitivement appli- quées k la surface extérieure. Que le fluide puisse être mis en mou- vement par la première de ces deux causes, c'est ce qu'on ne saurait révoquer en doute. Mais une difliculté s'élève à l'égard de la seconde. En effet, l'on entend par force impulsive une force capable de trans- mettre instantanément à un corps une vitesse finie. Or il n'existe point de semblables forces parmi celles que l'on considère ordinaire- ment en mécanique, et que l'on soumet au calcul. C'est uniquement à l'aide d'une action continue et prolongée pendant un certain lap> lé8 NOTES. de temps, que la pesanteur, les ressorts, les attractions et répulsions de toute espèce, parviennent k communiquer à un corps en repos une vitesse sensible. A la vérité, dans certaines circonstances , par exemple , dans le choc des corps élastiques, la transmission du mouvement d'un corps à un autre a lieu dans un temps si court, quelle paraît instan- tanée. Mais on a tout lieu de penser que ce temps , quoiqu'inap- préciable pour nous, n'est jamais rigoureusement nul. En suivant cette idée, il semble qu'on devrait toujours, dans la mécanique, re- garder une vitesse ou une quantité de mouvement , non comme une force, mais comme l'effet d'une force, et se borner à établir l'équi- libre entre des forces motrices, c'est-à-dire, des pressions, ou des forces accélératrices , c'est-à-dire, des pressions rapportées à l'unité de masse. Néanmoins , dans tous les traités de dynamique , lorsqu'il s'agit de résoudre les problèmes relatifs au choc des corps , on a re- cours à la considération de forces impulsives , et les résultats auxquels on arrive de cette manière s'accordent , ainsi que M. Ampère l'a fait voir, avec ceux qu'on obtiendrait en se conformant aux principes que nous venons de rappeler. En revenant h l'objet de notre Mémoire, nous devons conclure que le mouvement des ondes peut être rigoureusement déterminé par nos formules , toutes les fois qu'il est produit par l'action d'une partie de la masse fluide , d'abord soulevée ou déprimée, puis ensuite abandonnée à elle-même. Quant à l'action de forces impulsives, on doit seulement la considérer comme une fiction propre à faire dé- couvrir les phénomènes relatifs à l'espèce particulière de mouvement communiqué, dans un temps très-court, au fluide, par un mobile qui serait venu frapper avec une vitesse finie une très-petite portion de la surface extérieure. M- NOTE XV. Sur la Détermination des Quantités désignées par q et Q. Ainsi que nous en avons fait la remarque, les diverses incon- nues que présente le problème des ondes peuvent toutes se déduire des deux quantités désignées par q et Q. Or, quoique l'analyse du S. 4.' [IL' partie, section II] ne suffise pas, comme on le verra NOTES. lép tout-à-I'heure , pour établir rigoureusement l'équation (44) ''>- laquelfe la valeur de <2 doit satisfaire, on ne saurait néanmoins élever aucun doute raisonnable sur l'exactitude des valeurs de 9 et de Q que four- nissent dans la troisième section [II.' partie] les formules (54) et [76). Prenons en effet pour exemple la valeur de q donnée par la première des formules ( 54) [H.' partie, section m ]. D'après ce qui a été dit dans le Mémoire, aux pages 22, 60 et 62, il est clair, i.° que cette valeur vérifie l'équation sans devenir infinie pour des valeurs infinies et négatives de y ; 2.° qu'elle rend identiques les deux expressions de la vitesse verti- cale V, c'est-à-dire, en d'autres termes, qu'elle satisfait à l'équation ou, ce qui revient au même, à la suivante , dans le cas particulier où l'on suppose y =^ o. Ajoutons que les fonctions arbitraires comprises dans la première des formules (54) peuvent être déterminées par le moyen des valeurs initiales de y et de y correspondantes à la surface du fluide. Or ces différens carac- tères sont précisément ceux auxquels on doit reconnaître la va- riable q, lorsque le fluide se réduit à deux dimensions, sa profon- deur étant infinie. Donc le problème des ondes , qui n'a certainement qu'une solution, se trouve résolu dans le cas de deux dimensions par les formules ( 54)j dont la première entraîne la seconde, et par celles qui s'en déduisent. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que la valeur de q, donnée par la première de ces formules, vérifie généra- lement l'équation , , J^a , r d'-q d--q -[ laquelle se change, pour j/ =: o, dans l'équation (44) [II.' partie]. Au lieu de prouver à posteriori que la valeur de q , ci-dessus men- tionnée, remplit toutes les conditions requises, on pourrait, à l'aide des principes établis dans le Mémoire, et sans recourir à l'équa- tion (44) [II.' partie], déduire directement cette valeur de la for- I . Savarts éirangen. Y lyo NOTES. mule (48). Effectivement, la formule (48) [II.° partie] étant admise, l'équation (2) , qui doit être vérifiée pour y = o , se réduit à (4) G = S/cos mx I '^'■^j"'^' -^grxfi m,t}\dm \2Zl^_ On satisfait à cette dernière en supposant la fonction f[m,t) assu- jettie à l'équation différentielle (5) °= j,^ -^gmf[m,t), dont i'intégrale générale, présentée sous la forme _L -L — i. (6) /(«> ') = cos m-g-t.

.,(ot) = o , >,(/«) = o. On aura donc simplement à établir la proposition suivante. Théorème. >,(«), y, [m), désignant deux fonctions de la quan- tité m, si fon a, pour des valeurs quelconques de la variable x , (9) /cos mx.y,{m) dm -4-/sin mx.y.{m) dm^= o , i m = o l \ /n == 00 ) on en conclura, pour des valeurs positives quelconques de m , (10) >.(;/;) = 0, y^[m)=o. NOTES. 171 Démonstration. Si, dans l'équation (9), on change x en — x, on obtiendra la suivante : (11) fcos mx .y ^ [m] dm — T^sin mx .y, {m) dm = o De cette dernière réunie à l'équation (9) on tire ' ycos mx .y^[7n] dm = o , (•2) /"sin mx.y,{m) dm = o Supposons maintenant qu'après avoir multiplié la première des for- mules (12) par cos /xxdx, la seconde par sin y-xdx, on intègre les deux membres de chaque formule par rapport à a- entre les limites A=o, A-^ 00. Alors, en ayant égard aux équations (3) de la note VI, on trouvera, pour toutes les valeurs réelles et positives de f/, — >, (m) = o , — yS^tA = O ; et l'on en conclura, pour toutes les valeurs réelles et positives Aem, yjm] =^ o , y^[m) = o ; ce qu'il s'agissait de démontrer. Des raisonnemens entièrement semblables à ceux qui précèdent serviraient, dans le cas de trois dimensions, à déduire de la for- mule (71) [IL' partie] la valeur de ij donnée par la première des formules {76). Revenons maintenant au problème proposé en tête du 4-' para- graphe [II." partie, section il]. Comme, d'après l'énoncé de ce pro- blème, les coefficiens différentiels de la fonction ç sont des quan- tités infiniment petites; dire que les équations (4o) doivent être vérifiées pour des valeurs infiniment petites de y, c'est, lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre , dire qu'elles doivent être vérifiées dans la supposition y 1= o. Or la première des équa- tions (4o) , se trouvant réduite, par cette supposition, à l'équa- tion (36), ne peut plus servir qu'à déduire de la quantité Q, censée connue , l'ordonnée y de la surface du fluide , et nullement à fixer la valeur de q ou de Q. C'est pour cela que, dans les pages 56 et 57, fa seconde des équations (43) ne contribue en rien h la fonnation de l'équation (44)- Ainsi les seules équations qui, d'après l'énoncé du problème, aient dû être et aient été effectivement l']^ NOTES. employées à a détennination de fa quantité <2, sont l'équation (59), subsistant pour des valeurs quelconques de la variable y , et la se- conde des équations (4o), supposée vraie pour y=.o. Toutefois la double condition de vérifier les deux équations dont il s'agit , ne suffit pas pour déterminer complètement la valeur de Ç , et laisse le premier problème de la page 5 5 susceptible de plusieurs solutions, parmi lesquelles se trouve celle que nous avons donnée. On obtient celle-ci en supposant que la seconde des équations (4o) subsiste, comme l'équation ( 39) , non-seulement pour une valeur particulière de^ , savoir, j/ :^ o , mais encore pour cette valeur augmentée d'une quantité quelconque a, , c'est-à-dire , en supposant qu'on a , pour des valeurs quelconques de y, . d''q d'à d''q et , , , dq d'q En effet, on tire alors de l'équation (i4) d'q i d'q \ d''q If ~ 'g d}'dl'- p" ^* ' et, en substituant cette valeur de ~ dans l'équation (15) , on par- vient à la formule de laquelle on déduit immédiatement l'équation (44) [II-' j)artie ] en posant j» = o. Telle est, quand on la présente de la manière la plus simple, la solution que nous avons donnée. Or la supposition sur laquelle elle s'appuie se trouve légitimée par une condition omise dans l'énoncé du premier problème de la page 5 5 , savoir, que la fonction q con- serve une valeur finie pour des valeurs infinies et négatives de la variable y. Pour montrer comment il résulte de cette condition que l'équation (i4)i supposée vraie pour j" = o , s'étend à des valeurs quelconques de y , faisons dq d'q s sera une nouvelle fonction des variables x,y, ^, t, évidemment NOTES. iy3 assujettie à la double condition de s'évanouir pour y=o, et de ne pas devenir infinie pour des valeurs infinies et négatives de y. De plus, s désignant une fonction linéaire des dérivées de /j , l'équa- tion (13) entraînera la suivante , , ^ . d^ s d' s d' i >6 — -H— -H — =:o , dx dy rfj- qui devra être vérifiée pour des valeurs quelconques de y. En inté- grant cette dernière par la méthode du §. 7 [I." partie, section m], et assujettissant la variable j à la seconde des conditions ci-dessus énoncées, on trouvera pour cette variable une expression de la forme (17) S =. S JJ cos rn.x .cos n:^.c i[m , n, t) dm an I OT ^ o , m = 00 ) 1 B = o , K = 00 s ' L'autre condition, en vertu de laquelle s doit s'évanouir avec y, donnera 'S.ffcos mx .cos n^.f(;/z, n, f) dmdn = o ; et l'on en conclura \\oyei_ les notes XI et xii] que la valeur géné- rale de s se réduit à (18) s — o. Par conséquent, l'équation (i4) sera vérifiée , quelle que soitj». Au reste, l'équation (i4) ne subsiste pour toutes les valeurs pos- sibles de y, qu'autant que la profondeur du fluide est infinie. Si, pour plus de généralité, l'on supposait, comme l'a fait M. Poisson, que le fluide repose sur un plan horizontal représenté par l'équation (19) yz=-- — h [h désignant une constante positive), alors l'équation (i4) n'aurait plus lieu que pour y = o , l'équation (44) [H.' partie] disparaî- trait, et les formules (48), (54)< (71) et (76) cesseraient de fournir des valeurs exactes des variables q et Q. Mais il est facile de voir comment, dans cette même supposition, les formules dont il s'agit devraient être modifiées. Considérons en efl^et, pour fixer les idées, le cas de deux dimensions. La valeur générale de q, tirée de l'équa- tion (1) par la méthode de la note ix, au lieu de se réduire à celle que fournit l'équation (48) [II. ° partie ], conservera la forme 174 NOTES. (20) q = 'S.fcos mx .e"'^f[m,t)dm-{-Sfcosmx .e~^^ f[m,t)d7n ; m-^ o m := 00 et , par suite, la valeur générale de la vitesse verticale deviendra — -^ Tfcos, m X .ye"'"^ f (in ,t] — 1~'"'^ f[m,t)\mdm . Cette vitesse verticale devant évidemment se réduire à zéro dans tous les points du pian hiorizontai sur lequel repose la masse fluide, on aura nécessairement o = 2/cos mx Xe '" 'f{m,t) — e'" ' f [m ,t) \ mdm , et l'on en tirera (en vertu du théorème précédemment démontré) e f[m,t)—e /(«,/) = 0. f[m,t) = e~''" f[m,t) , (2,) q=-jZfcosmx.[e'"^-^e-"'^^'-^''^]f(r„,t)drn i /// =^ o I m =; oc . Cela posé , l'équation (2) , qui doit être vérifiée pour y^o, don- nera o = ./cos«. . [ ( , -^- .— '") ^:^ +^;«{,-.-^"VK0]^;. , et l'on en conclura, toujours en vertu du théorème qu'on vient de rappeler , Telle est l'équation différentielle qui, dans l'hypothèse admise, rem- place la formule (5). Si maintenant on fait, pour abréger, — zpih I -+-<■ .6)/ NOTES. 175 011 reconnaîtra que l'équation (22) a pour intégrale générale Il 11 (24) f{m,t)= ces M -g^t.(p{m) -+- sin Aî^g~^ t.^- (m). En combinant cette dernière formule avec l'équation (2 i), et dédui- sant la variable Q de la variable q par la supposition y = o , on obtiendra, au lieu des équations (54) [IL' partie], les deux sui- vantes : [ q=^fcosmx.cosAï-g-t.ie -t- e j.ip{m)d!n _ r ,^~ - r "O' — miy+zh)"] , . "î-fcosnix .smM -g- t.\_e -+- e \.-\.{m)dm , I (2=:2/cosOTA-.cos/W^g^/.[i 4-« '" \.p{m)dn ■'^fcos mx .siw M^ g^t\\ -\- e ' J.4('n)^OT- En opérant de la même manière dans le cas de trois dimensions, et supposant toujours que le fluide repose sur le plan horizontal repré- senté par l'équation (19), on obtiendrait, au lieu des formules {76) [ IL' partie ] , celles qui suivent : (j^ljjcosmx .cosn^.cosjy ^ g- 1 .\j -+- e _\ .(p(m,n)aman ^ rr • ïir- - r [">' -^-irVy , -(m'-l-H') = (/-l-i/4)l ,, , , , -H- syy cos/n.v. cos ;!^. sin TV -^- /. Lf -\-e ^ .■^\m,n)dmdn , ( m = o , m = CO ; \ n ^ o , r; := ce ; ' (2=2//coswA-.cosn^.cosA^^^^;.Li -+- e ' \ .ip {m, n) dm dn -^Iffcosmx .cosn-^.sinN^ g'^t.\_i -\-c '* \.-\.{m , n) dm dn , la valeur de N étant (27) N = -^^^^ — {m-- -t- «' )^ . I -t- e Il est bon d'observer que les équations (25) et (26) se réduisent (3°) i in 6 NOTES. immédiatement aux formules ($4) et (y6) de la seconde partie, lorsque fa profondeur du fluide devient infiniment grande , c'est-k- dire, lorsqu'on suppose h = oc . Si l'on supposait au contraire la profondeur h très-petite, on aurait sensiblement (^^> ) N^{m--^n^)h; et les valeurs des variables q, Q, deviendraient à très-peu près, dans le cas de deux dimensions , L , ± / m y — my\ , , , q =:. S. fcos mx .cos a- h ^ mt.\e -\- e )(p{m)am L ' I m y — "<> '^ I /■ \ j -i- ■S. fcos m.x .smff- h- mt.\e -\- e )~^{m)am, Q ■= 2. %f cos m X . cos g- h -mt .((i {m) dm t I -+- 2 Ifcosmx. Sting^ h'^ m t .■\' {m) dm , et, dans le cas de trois dimensions, q=z-î.ffco%mx.cos.ni.cosg^h^{m'--^-n')^-t\e' ^ -^ e \p{m,n)dmdn -^-'iffcos,mx.cosni.smg'^h~-{m'--\-n-)-t.\/ ' ■" -^e ]4{m,n)dmdn , I I I (2=2 Iff cos mx. cos ni. co&g'^ h'^ {m- -^n-y t. ip {m,n)dmdn -4-2 ^ff cos mx .cos ni- sïng^ h~ {m' -\-n')'^ t .■{{m,n)dm dn. On peut remarquer que ces valeurs vérifient, dans le premier cas, les équations aux différences partielles et, dans le second cas, les suivantes : ) -^"^ >, ï '''^ ^ -^'^1 NOTES. 177 Parmi ces équations aux différences partielles, celles qui se rapportent h la variable Q se trouvent dans la Aiécanique analytique. Comme elles sont entièrement semblables à celles qui, dans la formation du son, déterminent les petites agitations de l'air réduit à une ou à deux di- mensions seulement, et que, pour passer d'un problème à l'autre, il suffit de remplacer la profondeur h d'un fluide incompressible, sup- posée très-petite , par la hauteur de l'atmosphère supposée homo- gène, on doit conclure avec M. Lagrange que la propagation des ondes, dans l'hypothèse admise, suit précisément les lois de la pro- pagation du son , et que par conséquent le mouvement des ondes est uniforme. Il serait très-facile d'appliquer aux formules (25), (26), (29) et (30) les transformations que nous avons fait subir, dans le Mé- moire, aux équations (54) et (76) de la seconde partie, de manière à substituer aux fonctions arbitraires

li V - . sin (/x-+-v) > 1 ï ( /i^ , ^ =: CO d/ii dl 1 K = , ï = OC ff^in 2kfji.'-v ^ . sin (^h-v)- Mais ces valeurs, calculées dans la supposition que la quantité k reste réelle, seront différentes, suivant que l'on aura ^ < 1 ou ^ > i : et d'abord, si l'on a k< i , -/(l — k^ ) étant une quantité réelle, l'équation (4o) donnera évi- demment yy cos 1 k /jt. ^- v ^ . sni (;Lt-f-v) — r-r-== > ^ ' ^, . . ± ± d/udy \ » = o, i'=oo. /y sin 2 A'fi^ V 1 . sm (/*-i-v) ;— ^ = . z* l8o NOTES. Si, au contraire, l'on suppose l'expression ,, ^ ,., = ,,,. '^ , , étant alors imaginaire , et pouvant être mise sous la forme ^ /— /(*'-.) ^- ' on tirera de l'équation (4o) f/cos2.k/j.-V'- . sin (;«-+- v) ^^ ) \ , L -L . , . duLdi T I v=0, V=00. On peut donc affirmer que l'intégrale (43) //sin2Â',,.iv^.sin(M-Hv)-^^^ l/* = o,/. = oo, sera toujours nulle pour des valeurs de k inférieures à l'unité, et toujours égale à lorsqu'on aura k> i. On arriverait directement au même résultat, sans passer par l'imaginaire , en posant Ij, z= m , v = mn~ , ce qui changerait l'intégrale (43) dans la suivante ff 2 sm 2.kmn. sm m ( i-\-n ). dm dn „_p 7i = oo- puis appliquant à la détermination de cette dernière la méthode que nous avons employée dans la note vi pour établir la seconde des formules (3). Concevons à présent que dans l'expression (43) on fasse r on obtiendra l'intégrale double ff sm '^ 7 ' .sin(M-t-v)-^-^, j , = 0, , = 00, NOTES. l8l dont la valeur sera suivant que la quantité sera supérieure ou inférieure à / /J^ ; et l'on en conclura que la valeur de Q, donnée par l'équation (38), se réduit à (44) / '''^^" [if"^-i'^-')'-{j'-i)'f- ^■^■/si- ■ — *)"— (j' — j)*]" chaque intégrale double devant s'étendre à toutes les valeurs de -sr et de ç, qui vérifient la condition (45) (^—xy-i-{^ — ^)'' I , (51) f/cos zÂ/x- V - .sin (/j.-i-v]dfjLdv = , Mais, au lieu d'établir les équations (50) et (51), desquelles on passe facilement à l'équation j44) , je m'étais arrêté devant cette considération , que, si l'on développe l'expression cos2kf^^V^, et par suite l'intégrale (50) , en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de k , tous les termes du développement de l'intégrale [voyei les pages 1 34 et i 3 5 ] se réduiront constamment à zéro. Cette circonstance est d'autant plus remarquable , que le développement du cosinus produit une série toujours convergente, et elle fait voir que, dans la solution des problèmes, on ne doit user qu'avec beau- coup de circonspection des développemens en séries. = /x = o. M = 00 v = o , i' = 00 ; k , /i = 00 U'-il: V=;CXD. I 84 NOTES. -X- NOTE XVI. Si/r les Lois de la propagation des Ondes à la surface des Fluides incompressibles. DÈS qu'on a trouvé les foniiuies qui déterininent les valeurs des deux quantiiés représentées par ç ei Q, en joignant à ces formules les quatre dernières des équations (2.6) [11.' partie], et les quatre dernières des équations (45 ) \_ibidem'\, on a toutes qui est néces- saire pour fixer les diverses circonstances du mouvement d'un fluide pesant et incompressible dont les molécules conservent constamment des vitesses très-petites. Si l'on veut connaître en particulier les lois de la propagation des ondes à la surface du fluide, ou, en d'autres termes , si l'on veut savoir comment les diverses portions soulevées ou déprimées de cette surface changent de position avec le temps, il suffira de discuter la formule qu'on obtient en substituant la va- leur de Q dans l'équation , , . -/G qui est la seconde des équations (45) [H.' partie]. Suppo.sons, pour fixer les idées, que, le fluide étant réduit h deux dimensions, et sa profondeur étant infinie, la valeur initiale de Q se réduise à zéro. Alors la valeur de^, calculée comme on vient de le dire, sera donnée par l'équation (58) [II." partie], en sorte que l'on aura pour l'or- donnée de la surface du fluide, au bout du temps t, ('j) >'=-j7'cos/^-o-^r.cos/x [x — 'm].F['^)dti.d' ■' /- \a.) J \ a(j:— et) a.{x — f- . . . ces mêmes valeurs. Si on les substitue dans l'équation (9) présentée sous la forme (.8) - = ^'/"v' on obtiendra plusieurs abscisses, qui, prises de deux en deux, ap- partiendront aux sommets des ondes que nous considérons en ce moment. Cela posé , il est clair que , si le temps vient h croître , l'abscisse de chaque sommet croîtra proportionnellement au temps ; d'où il résulte que le mouvement des ondes sera uniforme. Il importe d'observer que chacune des ondes en question sera sillonnée de telle manière que la largeur de chaque sillon restera très-petite relativement à celle de l'onde. Cette dernière largeur sera la différence entre deux valeurs de x correspondantes à deux maxima consécutifs du produit £/u + . Quant h la largeur du sillon formé dans le voisinage du point dont l'abscisse est x , elle sera équivalente au très-petit accroissement qu'il faut attribuer k x pour faire varier le produit 4.V de la quantité xtto,. Soit A a ce même accroissement. 11 se trouvera déterminé par la formule 2 T a , ou -Zi^=2Tr«, \x 4(j--+-A.v) ' 4A-(.v-i- A.v) de laquelle on tire, en négligeant Aa vis-à-vis de x, 10 A X- =:^ -, = ^) • I , Savans étrangers. B b 15,4 NOTES. Ajoutons que le point le plus bas et le point le plus élevé de chaque sillon seront situés l'un au-dessous , l'autre au-dessus du plan hori- zontal qui indique le niveau naturel de la masse liquide, et à égales distances de ce plan ; en sorte que la hauteur d'une onde en un point donné au-dessus du même plan sera la moitié de la profondeur du sillon qui avoisine ce point. Remarquons enfin que le sommet de chaque sillon correspondra toujours à une valeur donnée du rapport 4 ■'■ d'où il résulte que , si le temps vient à croître , l'abscisse de ce som- met croîtra comme le carré du temps. Le mouvement des sillons n'est donc pas uniforme, comme celui des ondes, mais uniformé- ment accéléré. Si la courbe qui a pour équation (20) y = F{x] , c'est-à-dire , la courbe qui termine la partie soulevée ou déprimée de la surface initiale du fluide réduit k deux dimensions , est sy- métrique par rapport à l'axe des y , on aura nécessairement (21) F{x) = Fi—x); et par suite , en désignant , avec M. Fourier , par la notation l'intégrale y f («) ^-o- prise entre les limites iir r= V , ts =^ ra" , on trouvera 1 / sin — t [ib] a ta = o , (22) ) -^ ~^^ I 1 COS — F( -sr) dm ^ 1 j cos — F ["a) dta. Cela posé, les équations (12) et (i4) deviendront > - f V\\ f UA- . VX\ ra. VIT,,,,, 123 ^=-71=:; (_) ' (cos Hsni— )/ QOi— t [n!\dn: , ■V iiix\ti. J \ a. a. J J o a- NOTES. 1^5 et ==œ'(^)*-*i(y:'™?^W'")V- Dans la même hypothèse , la quantité U , donnée par la formule (25) £/=2J(y^"cos^FW> / , I -^ COS — aïs = - — 2 0,' ',—, J —a t d\> J -a. a. av' &c C;ela posé, Jes formules (30) donneront I ^^(— ) /-a DOT „ , , , 1 sin u /- 1 ^ " "^ I &c I / — ÙL CL { ^ ' (/_: sin ^^FH^.=-2. j 5.-^ -D.> -4^ - ^- ! ' et l'équation (12) deviendra L('sin^-cos^y5c.-VLZ_I).s ^^H-&c.) = -^ -iii (cos ^ -h sin ^y ^ sin ^^^ + &c. ) -+- &c. . . Ainsi l'on reconnaîtra de nouveau que la valeur générale de y a pour premier terme l'expression ( 6 ). 1^8 NOTES. Lorsqu'on suppose simplement (35) " F{x)z=A = ±h, //désignant une constante positive, c'est-à-dire, lorsque la courbe représentée par i'équation (20) se change en une droite parallèle à l'axe des x , la valeur précédente de y se réduit à (36) y = A[^^ {cos-+sin-^-—. Dans la même hypothèse , le produit (28) devient (37) A a r- , et par conséquent les sommets des différentes ondes répondent aux max'ima positifs ou négatifs du rapport Ces iiiaxima sont déterminés par la formule (.3°; -j-^^ = , ou sin u — 4 " cos 1/ =r , que l'on peut écrire comme il suit : (39) —f~ = 4- Après les avoir obtenus , on calculera les coordonnées des sommets ci-dessus mentionnés h l'aide des équations (18) et (24), dont la se- conde deviendra et pourra être, en vertu de l'équation (39) , présentée sous la forme NOTES. ipp Quant aux points les plus bas des différentes ondes, ils se trouve- ront tous dans le pian horizontal des *-, ^ , et correspondront aux valeurs positives de u , propres à vérifier l'équation (27), qui, dans le cas présent, se réduit à (4-2) sin u ^ o. Or, ces valeurs seront respectivement U,\\" — '^—^''^'^9---> «=2^-6,28318.., t;= 3,7 = 9,42477.., ( i; = 4'^= '2,56637.., &c. D'autre part , les valeurs positives de u , propres à vérifier l'équation (39) , seront de la forme (44) [zl: — 1 ) TT ê, n désignant un nombre entier, et g un arc inférieur à —, lequel 4 devra lui-même satisfaire à l'équation (45)^=(77:br.(^cotÊ-H46^) = (^^^j,-t-(4-|).'-^6^-&c.j On tire de celle-ci pour la valeur approchée de e Cela posé, la formule (44) donnera = 1 , 5 707o632..(2n- ,)- 11^21212 _ £:£IiZ^ _:;:ff!ZM.î _&c i« — 1 (2?/— 1)5 [ztl I)* et l'on aura par suite 2.00 NOTES. En réunissant ces dernières équations aux formules f i 8) et (4^) , on trouvera , pour les coordonnées du sommet de la n.'" onde , - y (2n-i)w| \(4n-i)7r/ 3 V (4n-2)^ / '/«« ( n / 0,020iIO 0.0054129 1 = ^ J0,398942...-H^^^;-^ -t-^^;;::^ +&C. (, i,42;4io...< / a \ ' ( 0,012665 0,00150908 „ I |,„_,)T \g'-J I (^"-') (2«-.)+ i 0,0180c î 0,001867262 „ } \ (2.-,)- ^g' I " (^"-'' ( = "-) De plus, en désignant par A la largeur de la n."" onde, on tirera des formules (18) et (43^; pour des valeurs de n supérieures à l'unité, Lorsque le nombre entier n devient considérable , on peut , sans erreur sensible , réduire à leurs premiers termes les séries que ren- ferment les seconds membres des formules (48) ; et l'on trouve, à très-peu près , (50J .= ^,|/^,;,=.y5(±)^(^_^)î = ^J-|/^-i^, (50 >. = u^J^-^-■ Ajoutons que, si l'on pose successivement n=i, 7! = 2, n=j, &c. . . . on tirera de l'équation (4/) NOTES. lOl w=i,35)4-. , u=^,6')^77Î , 1^=7,822051.., u=io,972794.., &c. Pour vérifier l'exactitude de ces valeurs de u , il suffira d'observer , 1 ." qu'elles diffèrent très-peu des arcs qui , sur la circonférence dé- crite avec le rayon i , et divisée en 4oo degrés, ont pour mesures 88^74'; 296^58'; i^y^^ô' ; 6c,8'\^s'; &c. . . . ; 2.° que si l'on désigne par « un de ces arcs , la racine correspon- dante de l'équation tang u — 4 'J = o sera déterminée avec une approximation très-grande par la formule que l'on déduit de la règle de Newton, savoir : t.mf; K — 4 a tang' x — ; Or, si dans cette formule on substitue, l'un après l'autre, h la place de a, les arcs ci-dessus mentionnés, on trouvera , . \ t;=: 1,593252.. ; (.=4,658778.. ;./ = 7,822031.. ; ( V := 10,972794.. ; &c, . . . Les valeurs correspondantes de x,y, tirées des équations (i8jet (40' ou bien encore des équations (48); seront respectivement pour la I. " onde .v=:o, 424087. .f/ga, 7=0,94 i949-.'''(-J =';44^> 0,024^44' =0,282095.. -^ 1-+- -^ — ^ ^ V. -»--^-m^ +&C. '/J* ( n . o.°)î7^77 . o,oï;9Cjo 0,0070084 = ^^^ 0,2820^5..-!- -.-^-y- -+- , "' + . -h cv-. -'' = (z„-,)i-\^)\{z„-,)g,')*\ ' ~*" i M4«^/ "^i:[;V(4«-2)J "^^l(4«-2)^j '^*"' -, ^ /' * ^! ( o,i;8ji4 0,0484560 0,010^104 = 0,76306-.. r-i)*\ ' -+- j-^-~ -+- ,4. -I- -H^^H-&c. A / a \ ' i , , 0,120807 o,o;i5g^j o,oi47;S (2,;-.)- ^^"'^ (-»-')' (2//-.)+ (2«-.)' De plus , en désignant par h la largeur de la n."" onde , on tirera des formules ()8) et (57), pour des vnleurs de n supérieures à l'u- nité, (65) ^=^fi/eA~ ' \ =Lt,/g^\ ' »■/-. Lorsque le nombre n devient très-considérable, on peut, sans erreur sensible , réduire à leurs premiers termes les séries que renferment les seconds membres des formules (64); et l'on trouve, à très-peu près, , " y (zn-\)v - (z?i-i)7r\TrJ \{in-,)-?rgt'J {in-i)7r'- y (2n-i)jr ' (66J{ X ^ Il y 1 NT 2 « Ajoutons que, si , dans la seconde des équations (63), on pose suc- cessivement n=:i, n==2, n=3, &c on en conclura 1/^2,122.., u=9, 15334.., « =z 1 5,5475 1 16... 2oé . NOTES. Pour vérifier l'exactitude de ces valeurs de v et corriger leurs der- niers chiffres, il suffira d'observer, i ." qu'elles différent très-peu des arcs qui, sur la circonférence décrite avec le rayon i , et divisée en 4oo degrés, ont pour mesures 135'', lo'; 5 82'',;72'; 989'', 78'; &c. ..; 2..' (jae, si l'on désigne par « un de ces arcs, la racine correspon- dante de l'équation tang u = o sera déterminée avec une approximation très-grande par la formule que l'on déduit de la méthode de Newton , savoir , '='- ^tang^(^)-^" Or, si dans cette formule on substitue, l'un après l'autre, à la place de « les arcs ci-dessus mentionnés, on trouvera (67) u = 2,o435..; « = 9,153332..; u= 15,547512.. , &c... Les valeurs correspondantes de x,y, tirées des équations (18) et (61}, ou bien encore des équations (64) , seront respectivement pour la 1." onde x^=o, ^4^7 ^..t-/ga, 7=0,56341. . .A ("j' ^0-9 5 266. . //(^-^V Ipour la 2." onde Ar:^o,i65264..''/,^,J'=o,oSoooo.../i/^—V=ro, 196-89../^/'—)^ pour la 3.' onde x=o,\ 26SQ'jÇ)..ty/ga,y^o,o-}6^7'j../i{—y- =0, 10271 z.Jif — -\* &c D'autre part, les abscisses des points les plus bas, déduites des for- mules (18) et (57), seront vi=o, 199470. ./y^^, x=zo, \ il oiy ..e y/^, .v=o,i 1 5 164. ./y^^, &c. NOTES. 207 En retranchant ces mêmes abscisses les unes des autres , on obtien- dra les largeurs des diverses ondes, ou 'es différentes valeurs de ^ , et l'on trouvera en conséquence , pour la deuxième onde A = 0,0 5 8423../ 1/^, pour la troisième onde a=o, 025883../ -/gâ, &c Supposons encore que Ton produise la dépression initiale du fluide par l'immersion d'un cylindre dont les arêtes soient horizon- tales , et qui se trouve coupé par le plan des x , y, suivant une courbe dont la partie plongée se confonde sensiblement avec une parabole ayant pour axe l'axe des y. Si l'on désigne par h la flèche du segment plongé, on aura, dans le cas présent , (69) F(-=r) = -/, (,-^), A = -/i, B=o, C — \, Z) = £ = &c... = 0; et Ton tirera de la formule (54) y'^a va „, . . , sin u V " / ) i h a. . . COS — F['a)dmz=^ — h(L I 1 ; — ; l :=^ ;— ( Sin u — u COSo 1. o a ^ (u d V ) u"^ ' Par suite, les formules (27) et (iy), qui déterminent les points les plus bas et les plus élevés des diflérentes ondes, deviendront (7 I ) sin u — u cos u = o , ou tsng v ;;= u , et F sin u — ucos u (sin u — ucos u \ = 0, OU (4" -9) sino -(- 9 u cosu = o. Les équations (71) et (72) sont précisément celles que M. Poisson a obtenues. On satisfait à la première , en posant 2o8 NOTES. I (zn— i)t ! • \|2n— i;t/ ijVfin— i)t/ co; \(2n— iJt/ ) ^ , , o,6:6(5i()6 0,1720081 0,0906259 0,05892: =: I,570796 52..(2«-l) -■ -^ ; -. r;- -&C., et à la dernière, en posant (74) " = , , o,~i(îi97 0,204091 0,102825 0,061198 = î, 14' S 026 S.. « ; ; &C... . Si dans l'équation (74) on fait successivement «=I, ;!^2, 77=^3, &C. . . , on en tirera t;=i,9p.. , i/= 5,8958.., 11^9,17803..., &c. la première de ces valeurs, placée entre les limites TTT 8t 2T . — =1,83259... et — = — =2,09439... ne saurait être considérée comme très -exacte, attendu que la série comprise dans l'équation (74) est peu convergente pour n = i. Mais, pour corriger la valeur dont il s'agit, il suffira de prendre Alors l'équation (72) donnera 49 ï '4 . . / 21 \ / yr \ —^■Tt — 9 H •7!^-^\^' — { — TT-t-çg j tang ( g-n 1 = o ; NOTES, 20p et , comme on a d'aiiieurs tang ^ -l-taneg g -t- — j = = tang - H- ^ 1 + tang- - j lange -+- &c. , I -tang — . tang £ on trouvera, en remplaçant tangg par g, et négligeant i^ , g', &c... 49 77" — 27 M 2 -t- 7 7r tang — j 0,51;. ^ 0,00262. . . , / T\ -TT 195,418.. 777-4-9 I I 2 -+-771- tang — j tang — u= 1,83259-1- 0,00262= 1,83521... Par conséquent, les valeurs de u relatives aux sommets des premières ondes seront (75) «=1,8352..; 0=5,8958..; « = 9,17803..; &c... Quant à la formule (7}) , si l'on y pose successivement n^2, «=3, n:=4, «S^C. . . . on en tirera (76) f = 4,4954' I 8.. ; 11^7,7252519..; 1/ = 10,9041 21 5... Après avoir déduit des formules (75) et (74) les valeurs de v qui cor- respondent aux points les plus bas et les plus élevés des différentes ondes, il ne restera plus qu'à les substituer dans les équations (18) et (24), dont la seconde deviendra i.77) ,=ii|^ii^^i;^}^(-^)^=iA(±)-j^^^ et pourra être, en vertu de l'équation (72), présentée sous la forme I, s aviim étrangers. Dd 2IO NOTES. Cela posé, si Ton calcule d'abord les coordonnées des sommets des différentes ondes , on trouvera pour la I," onde .v^ 0,36908 . .tyfga., ^'=1,9363 . ,/; ( — j"" =1,1 7634. .^ (t^)* /J pour la 2.'onde^=0,2O5 92. .r/^, ;» = o, 7 5787. .A ^^j^ =0,34391../; \~^ I pour la 3.° onde a-:=o, 1 65 o42..'|/ga, 7 = 0,4^9967.. A f — ^=0,19905 \ ..h f — \* &c. Quant aux abscisses des points les plus bas , elles seront respecti- vement .v:== 0,23 5874.../ y/^a, A-= 0,179892. .ry/^, Jr=:^0,I 5 l4'4-fV'ga. &C. . . Les différences entre ces mêmes abscisses prises consécutivement , savoir , 0,05 5982.. /|/^ ; 0,028478.. /-/gtt ; &c.... représenteront les largeurs de la seconde, de la troisième... onde. Ajoutons que , si le nombre entier n devient très-considérable , les coordonnées x , y A\x sommet de la n."" onde , et sa largeur A, seront données à très-peu près par les équations I ' Y n-K n-TT \7r I K'frgt'J m^ \*/ (80) I ' /ga *■ [ 4 n y ti-TT 2 rt Dans chacune des hypothèses que nous venons de passer en re- vue , l'équation (27) a une infinité de racines réelles, et l'on y sa- tisfait par une série de valeurs de v qui croissent au-delk de toute limite. Mais il n'en est pas toujours ainsi , et il peut arriver que les racines réelles de l'équation (27) disparaissent, ou du moins que cette équation n'ait pas de racines réelles supérieures à une limite don- née. C'est ce qui aura généralement lieu, si, la quantité F(ii,) étant F' { et) nulle , la valeur numérique du rapport ,. , ; devient inférieure à -1 ■'/■'( o) NOTES. 211 l'unité. Pour démontrer cette assertion , il suffit de recourir à l'équa- tion (54), et d'ordonner son second membre suivant les puissances ascendantes de — . En effet, on trouvera de cette manière f"- nr.„'"° n \^ (^M-^a-(-Ca'-i-Cla'-|-...)smu j cos — /*(_•»_) a-sr = a . i , (5-t-2C7a-+- jDa' -I- ...)cosii — 5 — *5 1 . 2 C -*- 2 . 5 £> a -H ) sir. u __ ^ ( 1 . 2 . 5 Z) -4- ) cos u — 1 . 2 . 3 D + &c et, comme on a d'ailleurs F(-f-&c... F"'(o)=: I.2.3Z). &c on en conclura (81) / cos F[ni)d'a = -lF(*)sin— F'(o)j, toutes les fois qu'on suppose F( e désignant la base des logarithmes hyperboliques , et a une quan- tité constante. On aura (90) FW=— /. i .(.-;) rH = — ^-^ — , F"H=-^ ! , /^'"H=:^-^ ' , &c... 2l6 NOTES. Fl ( i 1 1- &r , cos u — e a cLh a* -+- ' -h sin u V H est facile de vérifier directement cette dernière équation. Ajoutons que, si la constante a est positive , auquel cas la courbe représentée par l'équation (20) tournera .sa convexité vers l'axe des x, la valeur numérique de sin u cos u -\- a restera constamment inférieure à celle de i -h a , et par suite à celle de e" = i -k- a -\ -^ H &c. . . Donc alors l'intégrale (91) ne pourra s'évanouir pour aucune valeur de w , et l'équation (27) n'aura pas de racines réelles. Quant à l'é- quation (29) , elle deviendra vie" — cos u ) — fl sin u d{— 7 '- V,' [n'-\-v') = O , OU (92) 4u*sinu — (j?" — 5 cosu -t-4'îcosi/) u'-+-(4û-f-9)iïu* sinu -|-( 3 e° — 3 cosi/ — ^aco&v ) a^t/ -+-«' sint/ = o. NOTES. 217 Or il est aisé de s'assurer que celle-ci a une infinité de racines réelles et positives. En effet, si l'on prend O-^ n désignant un nombre entier très-considérable , le premier membre de l'équation (92) deviendra positif ou négatif en mêine temps que son premier terme , suivant que le nombre n sera pair ou impair. Ce premier membre passera donc une infinfte de fois du positif au négatif, et réciproquement ; d'où il résulte que le nombre des valeurs réelles de u , propres k le faire évanouir , est infini. Les valeurs de V dont il est ici question , fourniront les divers ?naxima et minima de la quantité U , auxquels correspondront les points les plus bas et les plus élevés des différentes ondes. On doit remarquer, Ji ce sujet, que, les valeurs minima de U n'étant pas nulles, les points les plus bas seront situés au-dessus du plan horizontal des x , :^, et que leurs ordonnées se déduiront, comme celles des points les plus élevés, de la fol-mule (24). Lorsque la constante a s'évanouit, la courbe représentée par l'é- quation (20) se change en une droite. Dans la même hypothèse, les équations (90) et (92) se réduisent aux formules (5 5) et (58), et les points les plus bas des différentes ondes se retrouvent dans le plan horizontal des x , ^, ainsi que nous l'avons déjîi expliqué. Lorsque la constante a devient négative, la courbe logarithmique représentée par l'équation (20) tourne sa concavité vers l'axe des x . Alors l'intégrale (y 1 ) est tantôt positive, tantôt négative, et s'évanouit pour ime infinité de valeurs de u. Par suite les points les plus bas des différentes ondes sont encore situés dans le plan horizontal des X , -^i comme dans le cas où l'on avait rt = o. Il peut arriver que, dans le second membre de l'équation (81) , tous les termes disparaissent jusqu'à celui qui a pour dénominateur t^". Pour que les deux premiers termes disparaissent , il suffit que l'on ait à-Iafois F(ct,) = G , F'(cl) = o, F(o) = o. c'est-à-dire, que la courbe représentée par l'équation (20) touche l'axe des X , au point dont l'abscisse est et, et une parallèle à l'axe des x , au point où elle rencontre l'axe des y. C'est ce qui arriverait , par I . Savam étrangers. Ee il8 NOTES, exemple, si l'on supposait (93) FW = -^(,-H.^)(,-^y. Dans ce cas , la formule (8 i) donnerait ^^^ Jo ^os — F{'^)d^ = -6a.k\ -1 [= ^tang---), tandis que les équations (27) et (29) deviendraient respectivement (95) 2(1 -ces u) — usinu^o, ou sin u . ( tang -^^ -) — q ^ et , 2(1 — cosu) — osin u {9^) 7- =0' o" 4w''cosu-i7i/sint/-+-26(i-cosu)=o. On satisfait à l'équation (95) par une infinité de valeurs réelles et positives de u , qui sont égales les unes aux quantités z 7r , 4 "■ ) 6 7r , &c. . . . , les autres aux racines positives de l'équation (97) ts^g T " = T u. Ces racines étant évidemment doubles de celles de l'équation (71), nous pouvons conclure que les valeurs en question, rangées dans leur ordre de grandeur , seront respectivement I 8,8495 ) 5... ; u=:2i,8oS243... ; 0=25,1327402...; &c.... Les valeurs correspondantes de x, tirées de la formule ^!8), se ré- duiront à (991 .v=0,I 9947 I ..ty/ga. ; Ar=0, 1 66788..^/^* ; x=0,i4.io4y..t/g^ ; .v=,o, i 27203..//^ A-=0,I 15164..;/^; A'=0, 107067..;/^; A-=O,09973 5..//^; &c NOTES. 2Ip Telles seront les abscisses des points les plus bas des différentes ondes , lesquels se trouveront tous situés dans le plan horizontal des X, :^. Quant aux abscisses des sommets, elles correspondront aux diverses racines positives de l'équation (96) ; et , si l'on fait abstrac- tion de la première, elles auront pour valeurs approchées les moyennes arithmétiques entre les abscisses des points les plus bas , combinées deux à deux. Ajoutons que la plus petite racine positive de l'équation (^6) aura pour valeur approchée le nombre et que cette même valeur , corrigée par la méthode de Newton , de- viendra (ïoo) u = 2,28550... On trouvera par suite , pour les coordonnées du sommet de la pre- mière onde , (101) .v= 0,3 30734...//^, ^ — 0,5 94406. .,/;f-j" ==1,080993... /if M 4-^ Enfin on peut remarquer que, l'intégrale (94 se réduisant à une fraction qui a pour dénominateur u'* , cette intégrale et la valeur de / donnée par l'équation (24), savoir, <■"' ^=^(v)M[™-KT-T)]"l'*(f)\. décroîtront très-rapidement pour des valeurs croissantes de v. Il en résulte que les ondes qui suivront la première seront très -peu sen- sibles. Pour vérifier cette assertion , il suffira de calculer approxima- tivement les coordonnées de leurs sommets. Or les valeurs de v cor- respondantes à ces sommets seront , à très-peu près , pour la deuxième onde , 1^ =: 7,388964. . . ; pour la troisième onde , t' = I 0,65 1 1 80 ... ; &c Ee* 220 NOTES. et pour la n."' onde [n désignant un nombre entier très-considérajjle] , ( j n -+- I ) T u ^=- • z Cela posé, si l'on représente par x, y, les coordonnées des divers sommets, on trouvera, pour la deuxième onde, A- = o,i8 394o../v''^, j = o, 03 35)64. .// f *V =0,079 191.. .;4^-^^y ' pour la troisième onde, x — o,\ 53204..//^, ;' = o,o2i 805.. /i^-^y = o,05 5709.../; ^-iL^+ ; &c. . . . et pour la n."' onde [«désignant un nombre entier très-considérable], La dernière des équations précédentes fournit une valeur de j qui décroît plus rapidement que le carré de — . Par les détails dans lesquels nous venons d'entrer , on voit que les vitesses et les hauteurs des différentes ondes produites par l'im- mersion d'un corps cylijidrique ou prismatique dépendent non- seulement de la largeur et de la hauteur de la partie plongée , mais encore de la forme de la surface qui termine cette partie , et, par con- séquent, de la nature de la courbe qui sert de base à cette même sur- face dans le plan vertical des x, y. Cette conclusion s'accorde avec les observations insérées par M. Fourier dans le Bulletin de la Société philomathique de septembre 1818. On doit sur-tout remarquer le cas où la courbe dont il s'agit, étant divisée en deux parties symétriques par l'axe des y, tourne constamment sa convexité vers l'origine des coordonnées, et présente au point le plus bas une sorte de rebrous- sement. Alors les ondes propagées avec une vitesse constante peuvent se réduire à une seule, comme nous l'avons démontré en supposant la courbe formée par la réunion des deux portions de paraboles sem- blables l'une à l'autre et tangentes h l'axe des x. Pour terminer ce que NOTES. 22 1 j'avais à dire relativement aux ondes de cette espèce, j'observerai que l'intégration par parties , appliquée à l'intégrale f: COS Fi'sr] disr fournit non-seulement la série comprise dans le second membre de l'équation (ïîi), mais encore le reste qui doit compléter cette série. En ayant égard k ce reste, on trouve que la formule (8 i ) peut s'écrire comme il suit : (103) / cos — F(fa) i/'Ts = —-\smij .F(a)~sin[o).F(^o)\ -i-^|sin^u-i-^VF'(*)-sin — . F'{o)\-\- --^\s'm(u-h7r).F"{a.)-sin7r . F" (o) + &c + ^ j sin („+i!l^).F-"-.X.^)-sin^ .F'-.-(o) } u" J o \ ût 2 / Ajoutons que ce même reste , représenté par l'expression (,o4) -^/o sm(-^+ ^ ).F-\^)d^, aura toujours une valeur numérique inférieure k la plus grande de celles que peut recevoir, entre les limites -ra-zro, 'm=:cL , la fonction F'"\'m) multipliée par la fraction très-petite — ;— . Revenons maintenant k la formule (i o ) , et, après avoir calculé les deux espèces d'ondes que l'on obtient en attribuant k la quantité u des valeurs infiniment petites , ou des valeurs finies , cherchons ce qui arrivera lorsque, le temps venant k croître, cette quantité deviendra infiniinent grande. Alors on ne pourra plus remplacer le produit -(' &c. par la fraction — ; mais la valeur approchée de y se déduira sans peine des considérations suivantes. 122 NOTES. Si, pour abréger, l'on fait (■05)1 =|sin -(jr-H^H H .. J-+-C0S -(a -t- -ar-l H.. j{F('ar), la fonction f («) s'évanouira en même temps que /^(•sr) , pour les va- leurs de "B situées hors des limites «r:i= — a, ^::^-(-a;et l'équa- tion ( I o) se présentera sous la forme (io6) ^==_^(^)Ty^^f(^)^^. De plus , il est clair que , pour de grandes valeurs de u , la fraction — sera très -petite, et que, si, la variable -sr demeurant comprise entre les limites — a , H- a , on attribue à cette variable l'accrois- sèment très -petit , i accroissement correspondant de l'arc V f 'sr' \ \x -^ m H \- &.C. . . 1 sera égal à 1 2-»- / 1 \ a.-n \ ^J,^_^&C...-4-(--H...j— -H&C...|, c'est-à-dire , très-peu différent de t. Cela posé , on aura sensiblement , pour des valeurs de in renfermées entre les limites m ■=. — « , DCST TB i;^ a ) (.07) /r(^ + f^)^/r(^), f(^_H^) = _f(^), tandis que l'on aura , entre les limites m =« , iir = a, (108) F^w-*- °^ j = o , f^iTH- — J = o. NOTES. 223 Ces principes étant admis, il deviendra facile d'évaluer l'intégrale En effet , on a tout à-la-fois l j _^ f (■») i^'ïa- = / ° {{ x^ V X- [ . "({'n!)d = " ( alA'-i-a— — J 0L[x+a.) a.[x-\-a.— —\ a.x+cL,) — /•(-a). sin {sin -1-cos — ; —A , " z (x+a) lx+0L-"j 1^ a{x+a]{x+a-":lj a{x+a}{x+a—-^\ 224 NOTES. ou , parce que les arcs 2 (;r-t-a) f.ï -(-« — — j a(i-H-a)^Ar-Ha — - j différent très-peu des arcs ^- , aix-y-a.) "^ — ^ ' f('Œr)(^/'ar=2— iCOS— ; r — SIll -^ \ t { a). _a ^ ' v\ ai{x+a) a.[x-\-a.)S ^ ' Oïl peut encore parvenir à la formule (i i i), en observant que, pour des valeurs de 'm comprises entre les limites — a, — a.-\ , lare V X^ V I 'S!' •^' . o \ — = — (v-H'SrH 1 J--H &C. . . 1 , a(A — 'Sr) CL \ XX / est sensiblement égal à u / a" otî „ N — ( X -(- -ar H -4- &C . . . I , a \ XX J d'où il résulte qu'on aura, par approximation, Sin — ; + ces — ; r C'a _a ' * (' — "^1 "■{'■ — '^) ' /-a+- 1 . v , a' a' n «= a' ( {sin — {x-\-'a-\ -.-\- ••) -t-COS — .v-t-OTH :-+- ..)i(/a _g^ <■ _"■ XX'' a^ X X- '} loL \ u , a' a' ^ " , it' a.' , i =: — iCOS — (x— a. -^ (- ..) Sin — (x-a ■■{ r-t- ••) : u ( a. ^ XX- a X <" | lO. ( V X^ .11*"' :=: — JCOS — ; ; Sin- x{x-i-a] a.{x-t-a.) A l'aide des mêmes méthodes , on établira la formule (llj) / ., f('5r)(/'Sr — 2— isin — ^ : COS — r^ r\ f{ci,}. V iJ J a-- ^ ' v) a[x — a) a{x — a.i \ ^ Si l'on a égard îi celle-ci et à l'équation (112), la formule (111) donnera NOTES. 225 (m4) rVwrf^ = f'|fsin-;^-cos^V(«)-Csin-:ii--cos^i-V(-«)L ' J-a. ^ ' m\\ a(Ar-a) tt[x-a.)) ^' \ a{x-ira.) a{x+a]J ^ M et l'on tirera en conséquence de l'équation (106) (..5)j = -^Pyj(sin-fil--cos^,)FW-('sin-:^-cos^V(-«)|. Telle est la valeur approchée de y , dans le cas où la quantité u de- vient très-grande. Si l'on suppose en outre F(«) = F{-a), on aura simplement (1 16) j/ =-__.(_) =!sin-- — sin-- — cos- --t-cos-- -A Fia.) j/iT, \u/ I a.{x—a.] a(.r-f-a) a.[x — a] a(.v-i-a) ) ^ '' — ) M — ) M sin— 7- r--hcos— rr- } sin ./^(*). Lorsque la valeur t/ , étant déjà très-considérable , reste néanmoins très -petite par rapport à -; par exemple, lorsque cette valeur est comparable à -i / 1 , les arcs u«' vx ( a' a+ \ ux va a{x- — a'} a \ x' x'' J a x V x' f a» \ lia" et -; =u ( IH h-..l=:t/H 1 1-... x- — a^ \ v' / X- different très-peu des deux quantités l» X et u , en sorte que l'équation (i 16) se réduit à Cette dernière coïncide précisément avec celle qu'on obtiendrait en substituant, dans l'équation (23), à l'intégrale I, Savans étrangers. pf 220 NOTES. /' COS F{'7s)d')!r sa valeur approchée, tirée de la formule (82). Discutons maintenant la valeur de y fournie ])ar l'équation (1 15). Si, en conservant à t une valeur constante , on attribue à l'abscisse x un accroissement Aat inférieur ou tout au plus égal à '- — , les di- minutions correspondantes de chacun des arcs a{x—a.) 4(*-<») a.[x-^a.) 4(* + <«) différeront très-peu de la quantité — Ax, a comprise entre les limites o, ztt ; et, pendant que cette quantité passera de la première limite à la seconde, l'ordonnée^ obtiendra diverses valeurs, les unes positives, les autres négatives, dont la plus grande sera (..8) y = — (^^y\[F{ l'm)a'!i! , a.(x — 'sr) a[x — is) ) Ff* (v)* yz-TX 3.2S NOTES. et sur celles qui viendront successivement la remplacer, on obtiendra un développement en série de l'intégrale (122); puis, en substituant ce développement à l'intégrale elle-même dans l'équation ( i o) , on trouvera définitivement ■&C Lorsqu'on supprime dans l'équation précédente les termes qui ont a et' pour facteurs —, -r- , &c. . . , on retrouve précisément la formule ('■5). Les calculs que nous venons d'effectuer deviendraient un peu plus simples, si l'on n'appliquait l'intégration par parties à l'intégrale ( i 22), qu'après l'avoir transformée, en posant :'^4) = — { 1 > -+■ UL ;:= ; -+- IX. X — -ar - ( x — a .v-t-a \ x' — a" Alors aux limites — d-, -\- a^ de la variable tu correspondraient les limites + NOTES. 229 de la variable //•; et, comme i'équation (124) donnerait, à très-peu près, 'sr=:/t-t, l'équation (10) se réduirait à -5) y = vk&f^ al- i *'" ^C-i= -^'*) ^ ^""^ -a(?i -^^) ! ^('^)^'^ ~ /— wJ' / U.V' . U.V' \ /- UfX. , 1 1 cos -— — --+-sin-^ — 7-)/cos — FiuAdu. l„- |\ a(,v--a') a.{s--t3L-)JJ a. *f^' <" |A*- i-lcos-— — ; -sin-— — -)/sin — F[u.]du. /*- V a(.v--a-) a(x -a')/J a \i~i i^ . a.x' — > x'~a.~ En appliquant l'intégration par parties aux intégrales que renferme l'équation (125), puis observant qu'on peut, sans erreur sensible, OL X^ SOUS les signes F, F', F" , &c.,. , remplacer dr: — r par ±ct-, on obtiendrait de nouveau la formule (123). D'autre part, si, en conservant à t une valeur constante, on attribue à l'abscisse .*• un ac- iTa croissement Ajc inférieur ou tout au plus égal à - — , la diminution correspondante de l'arc gt x différera très-peu de la quantité — Ajt, comprise entre les limites G, 277 ; et, pendajit que cette quantité passera de la première limite à la seconde, l'ordonnée j, déterminée par l'équation (125) , obtien- dra diverses valeurs, les unes positives , les autres négatives, dont la plus grande sera {^^6)y = ^^ (-^)' .|(/cos ^ F(,.y^) V (/sin ^ F(/.)./^)^ 1 a.ï' h" = +-^ — ; I X —a.' Lorsqu'on suppose F{/u.) :=2 F[-fA.) , en permettant aux dérivées de la fonction F{/ji,) d'offrir des solutions de continuité pour la valeur particulière yii=:o ; les formules (125) et (126) doivent être rempla- cées par les suivantes : a X' ( 1 27) j' = -^ (~y \ cos ,"'',. -f- sin ,"/ ,, i / ~" cos — . F{y.)d/j. , yjTxVa/ ( a.{x- — a.") a.{x — a.') ] J o a. ^ ' 230 et NOTES. ( -«) ^=7^(aiU^"-"-^T^^'^)^'^)"f De plus , si l'on applique l'intégration par parties à l'intégrale comprise dans la dernière formule, on trouvera , k très-peu près, (.^9) //-"^os^f /■(;u)^/. = ^(sin-^ .F(ct)-sin(o).F(o)) -4-jj^ sm (137^ H j . F»^"^' (ot,) — sm — — .F'" '''(ojj -^/j^sin(^-.^).F-(.).., et en conséquence la formule (128) donnera sin- — .F(ct.)-+--sin( -; — j-H- ).F (a)-+-. . . (, 30) .v=± 'ii^l -sin(o)./-(o)-^sin ^ . F^o) - — r sin . P" '' (o) Ajoutons que , si l'on attribue à u une valeur finie , ou bien une valeur très - grande mais comparable h -i / * , l'on pourra , sans erreur sensible , remplacer la fraction -p — ; par l'unité dans les formules (125), (126), (127), (128), (129), et qu'alors ces formules coïn- cideront avec les équations (12), (i4)> (.2}), (24) et(ioj). NOTES. 231 Si l'on appliquait l'intégration par parties aux deux intégrales que renferme l'équation (126), on obtiendrait une formule analogue à la formule (1 30), et qui offrirait encore la valeur de^ exprimée par une série qu'il serait facile d'ordonner suivant les puissances ascendantes de -. Observons toutefois que cette nouvelle formule se rapporterait, comme les formules (H 1) et (1 30), aux cas où les dérivées de la fonc- tion F(^iu.) conservent des valeurs finies, i . " pour /ui^o, 2.° pour /* = rt:a. S'il en était autrement , on ne pourrait plus se servir des équations (8 I ), (105), (130), &c... pour déterminer les ondes cor- respondantes h des valeurs sensibles ou à de très-grandes valeurs de o. Mais on y parviendrait, en transformant la valeur de y , et la déve- loppant en série h. l'aide des considérations suivantes. Si l'on désigne par i{f^) une fonction telle que l'intégrale f f{/J.-^v^^/ — i)dy, conserve une valeur finie et déterminée pour toutes les valeurs de y, et de y comprises entre les limites /*= — m, lxz=i-\-m, v=zo, v=: , si l'on suppose en outre que l'expression f(fx-\-vJ'Zri) ne varie jamais d'une manière brusque entre ces limites, et s'évanouisse pour v= 00 , il suffira d'intégrer entre les mêmes li- mites les deux membres de l'équation identique /— I pour en déduire la formule f'"i{i^)d,x=z.-^ /''^[ffOT + v/ZT) — f (-,«-+- v/ri)]./v. J — w V— I ,"0 Au contraire, en effectuant les intégrations entre les limites /x = o, (ji.-=^m, i/^o, f^oo, on trouverait y^'"f(^)^^= ^L^y^°°[f(/"-+-v/r7)— f(v/zT)]^.. Si dans ces dernières formules on remplace f(/«) par F[fj.) .e , /" " et V par — , on en tirera ' u 232 NOTES, et par suite j= e dix, (.34)/_V(M).sinM^^=:-i/^ ^ ^—^4 ^ "t—le-^dy. -H-y^ 1 '-'dix, (-35) f '"Fiix).cos{ufx)d,x^i f^^ S 1^ — i-^ î^ :: Le-^d^. / 7^= e ^H-, (.36)/'"F(^).sin,.^)^^=-:y;- ^ ^-^^ ^^ "^—^ e-^d. Or , il suffira évidemment de développer les seconds membres de ces équations en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de - , puis de remplacer fx par ot, m par a ou par la fraction -; ; qui diffère très peu de a , et t> par - , pour obtenir les valeurs des inté- grales / cos — . F{'B!) d'as , f sin — . /^('s-) diir , f ces — . Fins) d'à , NOTES. 2^^ etx- a X' a. x^ J ' Tx' *^°'^ T • ^(f^^ di^, J ' ~" shi ^ . F{iu.) d^, J "'"- cos~ . F(iJ.)dtx , A^ — a" développées en séries du même genre. Lorsque les dérivées de la fonction F^/j.) conserveront des valeurs finies , i ." pour ju. =:= o , 2.° pour yLt=±a, les séries trouvées coïncideront avec celles que renferment les équations (8i), (130), &c Mais, si la condition que nous venons d'énoncer n'est pas remplie , on parviendra évi- demment à des séries et à des formules nouvelles qui devront être employées dans la détermination des ondes relatives à des valeurs sensibles ou k de très-grandes valeurs de u. Concevons , pour fixer les idées , que la courbe représentée par l'équation (20) soit une ellipse, et que cette équation se réduise à ('37) y = —h (1 — -^) '• Comme on aura , dans ce cas , Fliir) = — /; ( i -j ' , on con- clura de la formule (135) /COS — . Fi/sr) d'à = o a ^ ' -K^rJ. 77^7 f"' ''i' puis, en développant l'intégrale relative à yw en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de -, et observant que l'on a généralement, pour des valeurs entières de 71, L '^'^ 2"— 7 „ . , , , I î )■ 2«— I 2 z 2 on trouvera I . Savans étrangtn. G £ 234 NOTES. (138) / cos —^ . F{^) dTs ■=. vœM[.+iS^(i)'-W-;Hat)-3SSfâ'-]-("-5)! L'équation (1 58) se rapporterait non plus k une ellipse, mais à un cercle, si l'on supposait A = a. Enfin, si l'équation (20) représentait une courbe paraljolique , et se réduisait à ('39) y^—h (' — ^)% /ï désignant une quantité positive, on trouverait F{'!!r) = -/t M- — J » et l'on tirerait de la formule (135) (140) / cos — Fyajd'm -^ = _ ^ i J>^ sin r. - 1^ W - - ^i^=il<^=^ -+- &c. . En substituant les formules (139), (i4o)> &c... h l'équation (81), on déterminerait facilement les sommets et les points les plus bas des ondes propagées avec des vitesses constantes , et relatives aux di- verses formes de la courbe représentée par l'équation (20). On ne doit pas oublier qu'il s'agit ici uniquement des points les plus bas de la surface qui enveloppe supérieurement ces mêmes ondes , ou , en d'autres termes , des points de passage de la première onde à la deuxième , de la deuxième à la troisième, &c Ces points de passage , que M. Poisson a déterminés , dans le cas où la courbe se réduit k une parabole du second degré, ont été désignés par ce géo- mètre sous le nom de nœuds , et il appelle dents des ondes ce que nous avons appelé sillons. La méthode qu'on vient d'exposer fournit aussi le moyen d'établir dans les différens cas les formules qui doivent être substituées à l'é- quation ( I 30). NOTES. 235 Jusqu'à présent nous avons fait abstraction de l'une des trois di- mensions de la masse fluide , ou , en d'autres termes , nous avons supposé que le mouvement s'effectuait de la même manière dans tous les plans parallèles au plan des x, y; ce qui arriverait, paF exemple, si, le fluide étant renfermé dans un canal rectiligne et d'une largeur constante, on faisait naître le mouvement par l'immersion d'un prisme ou d'un cylindre dont la longueur serait perpendiculaire à celle du canal. Concevons maintenant que l'on restitue au fluide ses trois di- mensions , et que la cause du mouvement soit une altération primi- tive du niveau dans une petite portion de surface adjacente h l'origine des coordonnées. Les lois de la propagation des ondes ne devront plus être déduites de la formule (b) , mais de celle qu'on obtient en substituant à la quantité <2, dans l'équation (a) , le premier des termes qui composent la valeur de cette quantité dans la seconde des for- mules (80) [IL' partie]. Il faudra donc, îi la place de la formule (b) , employer la suivante : (i4i) > = A ffff cos {y. v)^g ° t . sin V . cos ''^""'^ ^''^~^' ^ F(g , g J rf'^ ^1/ d'^sd^ ju^oo ; lu ■:=■ — co, •ar^cci » =00; _p = — 00, J)=oo)' En opérant sur cette dernière , comme sur l'équation (57) de la troi- sième partie , on trouvera (.4.) ^ = -////cos(-^^^|^)^^i.;.sin(^-..).fX-,ç)^^^^ l//^o, ^ = co, ir = — 00, rar ^=cc ( \ y ^o, V =00; _?= — OC, _p=oo(* On a d'ailleurs , en vertu des équations (6) , (13) et (15) de la note IV, (143) r'^r'^f{2kf/.' v').sm[iJ.-\-v)d/j.dv= j-ff kcosi .cosiu.f{/ 4'^'' '^' l /(x-^)'+(^-j')^ y I V(^-'^Y+{i-j>Y V i^-'^YMi-sY) {^■'^Y^iS'-iY I gt' /x ros 9 \ ; ' d ^ ^^ ^ , — ( / '■ I _,, - dfJL d'i d'à df ) 9^0, 9=7^;j' = — oo,J' = ooj' Dans ces diverses formules , les limites des intégrations relatives aux deux variables -w et ç peuvent être censées réduites îi des quantités très-peu différentes de zéro , puisque la fonction F{ja , q) est censée devenir nulle , dès que les variables w et ç acquièrent des valeurs finies. Pour cette raison, on peut négliger Tir vis-à-vis de x , et ç vis- à-vis de ^, dans le binoine {x — '"'Y'^iz — ?)"' ^' dans le radical ■j/ (at— •ar)^-i-(^ — qY , toutes les fois que ce radical ne se trouve pas sous le signe sin. ou cos. En opérant ainsi, et faisant, pour abréger, (149) V^''+l' = '■' NOTES. 237 puis supposant, coinine dans le Mémoire (page 72), (150) G :=^ I I F{rg , ^)clta dq , on trouvera définitivement ('p) y = ^g t' cos 9 , /x»\T J ' :;gt' COS 9 igt cos ^ I — T-r-( — ) ' ~r /"/"A' cos ? 8 sin / hcos . /r(^ pVe^forfp , // r COS 6 .cos fA..e \ r j d/xdù yr^ r' r Ji - /u, ^ o , /i = co Lorsque le temps t devient considérable , l'intégrale ('5-) // /^ cos ô . cos /x . ^"V r j dfJ. d6 obtient une valeur très -petite; d'où il résulte que la formule (151) se réduit sensiblement à ('53) y = (^y' ±ffft^cosl 6 fsin , ^^"^"^ -t-cos ■. ;. ^^'' "^^ __ ! fi'-,?^^'/'^'^? Si , de plus , l'arc (■54) ._ ''^ 4 V('—'^)'-\-{l—S'V est très-peu différent de l'arc g'' __ g_£_ 4 V'' -^V 4'- pour toutes [es valeurs de •ar et de ç qui ne font pas évanouir la fonction F^'sr , ç); on aura, à très-peu près, 2^iî NOTES. ('55) y = • cos " cos - fl <^ô ^ ^ Cette dernière équation , quand on y remplace r par x , coïncide précisément avec celle que l'on obtient en substituant, dans la for- mule (62) de la troisième partie, la valeur de E tirée de l'équation (6p). Si le temps n'était pas assez considérable pour que l'intégrale (152) pût être négligée, on trouverait, au lieu de la formule (1 5 5), (.56) y = C ^.^y_, ^..^, I ,_rc^ _^cos^-il^^ I cos h^fl ~ l^^^T^ -7, J , / rcosô.cos^., V . ) df..lO. Les formules (j 5 5)et(i 56) suffisent à la détermination des premières ondes dont le mouvement est uniformément accéléré. Lorsque , le temps venant à croître , le rapport i^ obtient des valeurs très-grandes et sensiblement différentes les unes des autres, pour les diverses valeurs de -sr et de ç comprises entre les limites entre lesquelles la fonction /'(^,ç) cesse de s'évanouir, il n'est plus permis de substituer à ce rapport, sous le signe j/n, ou cos,, la fraction -~- . Mais on peut alors déduire de l'équation (153) une valeur fort simple et très - approchée de la variable^, à l'aide des considérations suivantes. Si l'on fait, pour abréger, NOTES. 23P (157) ^' = S , xcosfl — J— ^, 4 Vi» — ^)' -h ii-j'}'- et (158) f{fx)=[sm{s—f^)-\-cos{s—fA.)] ; , :os9 ^ '"^\ =z I { sin (s — fj.) -h cos (s — //.) \ — dfji on trouvera /7 ■'' I . 7 et' COS. ^ 'igt' COS 9 I 1. ,. (,60) /-' f(^)i^ =/^'" f(M) ^ -h/; f(M) ^ De plus, on aura évidemment Or, la quantité s étant par hypothèse très-considérable, il en résulte que la fraction se réduira sensiblement à l'unité, pour toutes les valeurs de ya com- prises entre les limites o , -^/s, et que l'intégrale (16.) ff fw différera très-peu de la suivante ('62) J°°[sm{s — /j.)-\-coK{s — y.)] Ht 2.4° NOTES. D'autre part, comme, en posant a=. — -j dans les formules (5) de la note iji , on en tire , , , /" 0° tl/^ /* oc . du / T \ T (163) / cos^ -r = / sin/^— ^=(-) , (i64) / [sin(j — /li) -f- cos(j- — m)]— V = ( i :t)^ sin j- , '' " m'- nous devons conclure que l'intégrale (161) est sensiblement équi- valente au produit I ( 2 77 )^ sin s. Quant à l'intégrale elle vérifie les deux équations / ; f (^) ^ = /, - ' f (M) ^ -^ /- ^ f (^) ^ Comme on aura d'ailleurs, à très-peu près, entre les limites /Li:=y/j, on trouvera encore /i- En conséquence, on tirera des équations (i()6), ajoutées inembre à membre. 1^' NOTES. 241 (.68) /;f(^)i^ = ij//^-V(^)i^.+-r f(^)£^j . Enfin , comme on aura sans erreur sensible, entre les limites /«,= y/7, j" = /7 + 7»-, r= ' ' f((«) = sin (j — /^)+ cos (x — /« ) , — r=:-T- , et , entre les limites fx z^ s — w, /t=:j-, if est clair que l'équation (168) pourra être remplacée par la sui- vante ('69) /);f(^)-^ ~~^//7 "*"''[sin(^— /")-t-cos(x— f.)]^/M• Donc, puisque la valeur de s est très-considérable, l'intégrale (165) se réduira sensiblement à zéro ; d'où il résulte que le premier membre de la formule (160) différera très -peu de l'intégrale (161) et du produit (27r)^sinj. Cela posé, la formule (159) donnera (170) / sm '^ -+- cos "^ ( cos^fl)= ■/(A-^)'-l-fe-J')M = (")^sin. I^- / 4^ /(^— ^'-j' -t- (^-J)' \ '- ^.^ OU , à très-peu près , (171) / ^ sin ''^' -H cos '^' \ cosïfl^S = (ii:)^ sin ^. ^^'^ I . Sai'ans étrangers. H h 2.42. NOTES. En ayant égard à cette dernière équation, on tirera de la formule (■53) (172) y=-Xj. ^ /T/'sin . •^' F('=r,ç)^^^ç , ou, si l'on fait ('73) R = V{'-'^)'+{i-j'y ' on aura simplement (•74) ^=-^ ^y/r sin g .F(^,e))' I = ^^ -H &c. . . . ; r la quantité « restera très-petite, et sera peu différente du rapport , pour toutes les valeurs de -îsr et de ç , qui ne feront pas évanouir la fonction /^(ot, ç) . On aura d'ailleurs ^ „ - _|_ &c. . . . ; &c. . . . , le premier terme obtient seul une valeur considérable, i'équation (175) se réduira sensiblement k •79 J = ^- — ^ — r cos s— . Cette dernière équation convient encore aux ondes dont le mouve- ment est uniformément accéléré , et peut être substituée avec avantage à la formule (155). Si l'on y pose (180) ^-=k , elle donnera (181) y =-^^ k^ cos- . Par suite, les sommets des ondes que nous avons considérées dans la troisième partie du Mémoire [section 11 , §. 7] correspondront, pour des valeurs considérables de k , aux diverses racines de l'équa- tion (182) = 0, OU tang-- = -, lesquelles coïncideront à très-peu près avec celles de i'équation (70) du paragraphe cité. 244 NOTES. Lorsque, dans la série (178), le second terme ^-— acquiert une valeur très-grande , et comparable , par exemple , à la moindre valeur du rapport — , l'équation ( 1 79) devient inexacte , et l'on est obligé de recourir à la formule (175). Concevons que, dans la même hypothèse, on attribue à t une valeur constante, et que Ton fasse varier x, y de quantités ii x , Ay assez petites pour que l'accrois- sement correspondant de r, savoir, Ar, ne dépasse pas la fraction (ë) g'' La diminution correspondante de l'arc g'' gi'- iR 4('-— <") différera très-peu de ^ A /? , ou mêmç du produit g'' 4r- compris entre les limites o , aw; et, pendant que ce produit passera delà première limite à la seconde, l'ordonnée^, déterminée par l'équation (175), obtiendra diverses valeurs, les unes positives, les autres négatives , dont la plus grande sera ■i84) y = On doit en conclure qu'à l'époque dont il s'agit la surface du liquide se trouvera coupée dans un espace fini par une multitude de sillons très-rapprochés les uns des autres. La largeur de chaque sillon, comp- tée suivant le rayon vecteur mené d'un point de la surface liquide à l'o- rigine des coordonnées , sera précisément équivalente à la fraction très-petite m' NOTES. 245 tandis que ia plus grande élévation et le plus grand abaissement d'un sillon au-dessus et au-dessous du plan horizontal des x, ^ auront pour mesure commune le second membre de l'équation (i84). Les sommets des divers sillons auront donc pour ordonnées des valeurs de y fournies par l'équation (i84); et, comme ces ordonnées ré- pondront à des valeurs déterminées du rapport —, il est clair que, si le temps vient à croître, la valeur de r relative à chaque sommet croîtra proportionnellement à t"-. Le mouvement de chaque sillon, dans le sens du rayon vecteur r , sera donc uniformément accéléré. Ajoutons que la surface du liquide, prise dans une étendue sensible, paraîtra plus ou moins élevée au-dessus du plan des x , i, suivant que les hauteurs des sillons compris dans cette étendue seront plus ou moins considérables, c'est-à-dire, suivant que les valeurs de y , fournies par l'équation (i84), seront plus ou moins grandes. C'est donc à cette équation qu'il faudra recourir pour déterminer , dans une étendue finie, le gonflement ou la dépression apparente de la surface liquide, ou, en d'autres termes, pour fixer le nombre et les hauteurs des ondes que présentera cette même surface. Cela posé, les sommets des difl"érentes ondes coïncideront sensiblement avec les sommets des sillons les plus saillans , et auront pour ordonnées les valeurs maxima de la fonction qui compose le second membre de la formule (184), tandis que les points les plus bas des différentes ondes, toujours situés, ou dans le plan des x, {, ou au-dessus, se confondront à peu près avec les sommets des sillons les moins sail- lans , et auront pour ordonnées les valeurs minima ou les valeurs nulles de la même fonction. Dans l'hypothèse que nous venons d'admettre, c'est-à-dire, lorsque ^ acquiert une valeur très-grande et au moins comparable à celle du rapport — . le second terme du développement de — , savoir , g t~ (t) , , — ^- , obtient une valeur sensible. Si l'on suppose d'ailleurs que le troisième terme de ce développement conserve une valeur très-pe- tite , on aura , à très-peu près , g'' g'' . g'' i" ('85) _ puis, en désignant par 2 au la plus grande dimension de la portion 24^ NOTES. de surface liquide que l'on a soulevée ou déprimée à l'origine du mouvement, et faisant pour abréger 861 .^ililiL, on trouvera (-87) S = ^(^^H- En vertu de cette dernière formule, les équations (175) et (i84) deviendront cos 'iffcos ^^'^'yi^ . FKç)./-.^ç] iTc \ a / et (.89) De plus , si l'on appelle fl l'angle formé par le rayon vecteur r avec l'axe des x , on aura évidemment (190) .Y=:/-cos6 , ^y^rsinfl ; de sorte que l'équation (189) pourra être remplacée par la suivante (191) y=: Si, dans celle-ci, on substitue pour r sa valeur tirée de la formule { I 86) , savoir , 1.192] iV^, NOTES. 247 et si l'on fait, en outre, '95, U — j(//cos- OTcosS-t- PsinO) „, \ , j\ ( rr w (w cos9-l- JJsinS) on trouvera définitivement Concevons maintenant que l'on veuille déterminer les sommets et les points les plus bas des diverses ondes que présente, au bout du temps t, la surface liquide, dans un plan vertical mené par l'origine des coordonnées , et correspondant à une valeur fixe de l'angle 6 . Il faudra chercher les valeurs de la variable r, ou, ce qui revient au même, de la variable u , pour lesquelles le second membre de l'équa- tion (i 94) deviendra un maximum ou un OT/niOTi^m. En d'autres termes, il faudra chercher les valeurs de u propres à vérifier la formule (■95) — 7:r-=°- En substituant ces valeurs dans les équations (192) et (194)» on en déduira, i ." les distances horizontales de l'origine aux points les plus élevés ou les plus bas des différentes ondes ; 2.° les ordonnées de ces iriêmes points. Ajoutons que, si le temps vient à croître, le rayon vecteur r, correspondant au sommet de chaque onde, croîtra, en vertu de l'équation (192), proportionnellement au temps; d'où il ré- sulte que , dans le sens de ce rayon vecteur , le mouvement de chaque onde sera uniforme. Remarquons enfin que les diverses valeurs de u , tirées de la formule (195), et substituées dans la formule (192), fourniront, entre les coordonnées polaires ;• et 9, des équations qui appartiendront aux courbes figurées, soit en creux, soit en relief, par les différentes ondes, autour de l'origine des coordonnées. Dans le cas particulier où la portion de surface liquide, primiti- vement soulevée ou déprimée, se trouve divisée en deux parties symé- triques par le plan vertical des x , y , et par le plan vertical des 7, ^, on a (196) jF('Sr,ç)^F( — m,^) = Fly'S, — g) = /'( — ns, — ç). i48 NOTES. et par suite ff . ( u -sr cos 6 -H JJ sin e ) -n., s , , rr u («rcosO-l- J>sin 6) „, ',, , // COS — ^ . /'('Sr,ç)fl'ar (/ç = rr u w COS 9 u J3 sin 9 „, \ j j I I COS . COS . /• ( -w , ç ) (T-sr aq . Dans la même hypothèse, les formules (ipj), (194) et (195) se réduisent à I / \ TT \ ( rr « OT COS 9 u j> sin 9 „ , \ J J \ ( ^ (197) t/= I l^jj COS ^^ .COSj -^ . F{.v>,,i)d'mdg'j I , (198) y = ^(.Pi?) " j(/y cos-^— .COS-^-.F(^,ç)7 . .. (202) a = — :=; ot cos 8 -\- p sm 9 . Ainsi, par exemple, en opérant de cette manière, on trouvera, au lieu de la formule (198), (203) y = 7 (^)*"- 1 (//-v K-. '-=s^) 4^ )' r On pourrait encore considérer les variables -îsretç comme représentant des coordonnées rectangulaires , et leur substituer des coordonnées polaires s, t, assujetties à vérifier les équations (204.) -sr =r j- cos T , ç^JsinT. On trouverait alors J = |/«r'-Hj>' , ■srcosfl -(-ç sin 9 = J cos (t — fl) , ■ff- COS . t ("sr, ç) cl 'm ç)=/(/^m:?)=/(^), en sorte que la formule (205) se réduit à Si la base du même volume , dans le plan des x , ^, se confond avec ie cercle qui a pour équation (207) x^ -H f = ces I . Savans étrangers. I i 550 NOTES. les intégrations relatives aux variables j et t devront être effectuées entre les limites J = O , s =:= £t ; T := o , T = 2.7r ; OU, ce qui revient au même, entre les limites et, en faisant, pour abréger, cos ( T — 6 ) = <" , on trouvera IJ = o , i = û£ ï Cette dernière valeur de y étant indépendante de l'angle 6, il en ré- sulte que , dans l'hypothèse admise , les courbes qui marqueront les sommités et les points les plus bas des différentes ondes se réduiront à des cercles concentriques. Dans la même hypothèse, on tirera de l'équation (203) (209) y — \/l f T \"ï ^ f / rf^ " " ^i V '^' — - '"'!'' ™s 6 -H'ffl--' \ d-a dùi\ \- "^ \a.igt') " I V.yy "^ "a "-^ V ^î^il / sine / (' l'intégration relative à 'a devant être effectuée entre les limites (210) 'ar::=MC0s6 — sin fl j/'fa'— «") . '!!r = &iCOS 8 + sin 6 ^/(a" — w'] , et l'intégration relative à a entre les limites (211) U) := — • a. , u :=! -+- a.. Si l'on fait d'ailleurs (212) w = av et ta — ù> cos û := a. fj. sin 9 , NOTES. 251 i'équation (209) se trouvera réduite à /- — - ( » 1 — I ^ = — V'— >■', v = o I ( /" = -f- V 1 — vS '= I i ' OU, ce qui revient au même, à (2.4) y=~{~)"-v^\{ffcos{.y).f{.y-;:T^^).d^dv) j' /* = o , ^ = y I — V V= O , V= ! , On peut remarquer que la formule (2 i 3) coïncide avec celle que l'on déduirait de l'équation (598) en posant ^ = 7 . F {'^, ç)=/( /^ô^TyO> 'mi:^a.ix, ç =:av. Ajoutons que, pour tirer les formules (208) et (214) de l'équation (ip4). il suffit de prendre successivement (215) U=-±.i«.'- jycOs{uÇs).f{aLs).sds j^ et les^ signes des seconds membres étant choisis de manière que la quan- tité U soit positive. Lorsque la fonction / est entière , on peut effectuer immédiatement li* 252 NOTES. dans l'équation (215) l'intégration relative à J , et dans la formule (216), l'intégration relative à jx. Concevons, par exemple, que le mouvement ait été produit par l'immersion d'un solide de révolu- tion, et que ce solide se réduise à un cylindre, à un cône , ou à un paraboloïde dont la génératrice soit représentée par l'une des trois équations (2.7) ;/ = —//, ^ = — //(i— -^), y — — h(^^ — '-,). On trouvera , pour le cylindre , (218) U^z^it'- h r\\ — v'-y- cos(t/v)/v; pour le cône , (219) U=:-± 2. j.y j/j. — - "'' "" (2''«*-0(i«-+-î)(in-+-4) (228) i/ = ±4'>-«'Ai— ^ __ , ;>)' . • o)^ I (t«)' Enfin , si l'on considérait le solide engendré par la révolution de la parabole du troisièine degré , à laquelle appartient l'équation '=-"(-'.)('--:)■ y- on trouverait /(aj) = — ;5(i — 3 j' -f- 2 J-' ), n s'-"^'(l—T,s" -4-2j')^J=-- f-— -. Jo ^ ' ' {2«-t-2) (2'»-(-4) (-"-!-;) (229) i/= I 1.2 5 2-3 7' J-4 9 (■•^)' 4-5 " ('-^-S)' (* En général, toutes les fois quey"(.t) sera une fonction entière de a- . on obtiendra immédiatement la valeur de l'intégrale (250) £' s^"^'f{.s)ds, en remplaçant, dans le développement du produit s'-''^' f{as) , les NOTES. 255 puissances j""*"', s"'*'- , j"'+', &c. . . . par les fractions - , , , &c. . . . Au reste, la valeur de l'intégrale (a^îo) peut quelquefois s'obtenir en termes finis , dans des cas où l'ordonnée de la courbe génératrice n'est pas une fonction entière de x. C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on détermine cette ordonnée au moyen de l'équation — —h. ,•(-.')-, On trouvera, dans cette hypothèse , f{as) = -h^ :.i...(inH-i) "[>-') &.C.. (23,) • u = \e' — \)a- {\ 1 1.2/ ].2\, I i.î 1.2.J 1.2. 5. 4 /Va"/ Oji peut remarquer que l'équation (23 1) se réduit à l'équation (226),, dans le cas particulier où l'on prend a = o. Si l'on substitue la valeur de CJ donnée par la formule (224) dans les équations (221) qui déterminent les points les plus bas et les plus élevés des différentes ondes , ces équations deviendront respective- ment (^3^) 2^é NOTES. Ces dernières se réduiront en particulier, pour le cylindre, à (234) pour le cône, à ' 2 I -1- î (■.^)' 4 ( .Z.J)' -+- I '>')' &c .... — , S (■ .2.3.4)' 7 ->' 1 1 -t- 11 1 3 ;>')' 'î ( i — (...)^ 4 ( ,.2.3)' -(- '9 5 (■ .2.5.4)^ — =0; I 1 i ti- I (;"M' ( -; "=)' ^■s 4-5 ' 6.7 (,.2)= 8-9 ( .2.5)' . . . . — , 10. 1 {■.2.3.4)' 3 7 >' 1 1 (;"M' -5 om' -■) 4-5 ' 6.7 (..2)' 8.9 ( ,.2.3)' '9 '>')' «:c. _ . 1^35) 10. I 1.2.3.4 pour le paraboloïde , k 3.4 i'-^-r 4-î ('-^.3)^ î.«(..^-3-4)' (236) &c = o , 3.4 ('■=)' 4-5 (■• = •3)' .11. '^"'''-&C = 0: J.6(i-2.3.4)' NOTES. 257 enfin , pour le solide engendré par la révolution d'une parabole qui touche l'axe des x, à 0=) ..3.4 4.J.6 1 6.7.8 (1.2)^ 8.9.10 1.2.5)= -+- I (i-)' .., .=0, 10. 1 1 ./ -(.-.3.4)^ ^'•• 3 7 j v' 1 1 0^)' .5 (>•)' 2.3.4 4.5.6 I 6.7.8 {1.2)- 8.9.10 1.2.3)= -f- '9 — &c. . (237) IQ.11.12 (1.2.3.4)' En déterminant les premières racines de ces diverses équations , on reconnaîtra que les valeurs de -^u^ et de u , correspondantes aux sommets des deux premières ondes, sont respectivement pour le cylindre. pour le cône . . . I ?"'"= 1,1727 ( i"'= 7.3<^4. ?"'= 2,1399 ~u- = l 1,894. i.^= 1,8622 .-i;!;- =10,968 . pour Je paraboloïde ...'.... pour le solide engendré par (^2 ->/8->ç la révolution d'une para-< j , "" bole tangente à l'axe des x,{^" 9'595- . . . V 7=Z 2,1658 . . . u = )Â2.7- ... V = ^'9^57 . . . u = 6,897. ... V = 2,7292 . . u = 6,624. . . . V =:= 3.73"-- . . . V — 0,880. On trouvera de même que les valeurs de -^ o^ et de u , correspon- dantes au point de passage de ia première onde à la deuxième , sont respectivement pour le cylindre ^u":=r3,67o4.., u= 3,8316...; pour le cône i "' = 8,6563 . . , t> = 5,8843.. . ; pour le paraboloïde i <'" ^ 6,5936. . , t/ = 5,1356... ; pour le solide engendré par la révolution d'une para- bole tangente k l'axe des A-, çu' = 19,8704.., 1;==: 8,91 52. . . I . Sdt'am àriUigers. K. k 258 NOTES. Il importe d'observer que la dernière valeur de v, étant fournie par la seconde des équations {^^y) et non par la première, indique un point de passage élevé au-dessus du niveau naturel de la surface liquide. Si l'on voulait calculer non-seulement la première ou les deux pre- mières racines de chaque équation , mais encore la troisième, la qua- trième, &c. , il faudrait conserver dans chaque série un grand nombre de termes, et les calculs deviendraient fort longs. Toutefois on pourrait les abréger en faisant usage de logarithmes , et prenant pour valeurs approchées de -^u^ des nombres dont les logarithmes fussent très- simples. Ainsi, par exemple, si l'on veut obtenir les trois plus petites racines de la première des équations (2j6), on observera que, dans cette équation mise sous la forirle ) ' ~~TrAl) "^ (■•=)=-3.4 VT/ (....;)'.4.; (.7/ ^ ( — ) — &c = o , (1.2.;. 4-1-. 5. 6 \ 4 J i' les coefficiens de la première , de la seconde, de la troisième enfin de la dix-septième puissance de — , ont pour logarithmes des nombres dont les parties décimales sont respectivement 522S7S74, 61978S75, 44369749, 0654B625, 51941820, 83817696, 03883641, 13574642, i4oii'^3, 06092998, 90559394, 68028466, 39025005, 04000203, 63346185, 17406936, 66486684; et, k l'aide de ces logarithmes, on reconnaîtra sans jjeine que les trois plus petites valeurs de — , propres à vérifier l'équation (238), sont comprises , la première , entre les nombres 10°*' = 6,4565 ... et 10°''" = 6,6069. . . qui, substitués dans le premier membre, fournissent deux résultats de signes contraires , savoir, -+-0,00567 et — 0,00053; 'a seconde entre les nombres NOTES. 259 lO'-^+rr: 17,3780 ... et l o''='' = i 7,78 27 . . . auxquels correspondent encore deux résultats de signes contraires , savoir, — 0,00264 et -+- 0,0005 ; enfin la troisième entre les nombres 10 i.iii 33,496 ... et 10 '-5' =35,481 .. dont la substitution fournit les deux résultats de signes contraires -(-0,0005 ^t — 0,0038. En poussant plus loin l'approximation, on trouvera pour les valeurs approchées de -5-"' correspondantes aux trois premières racines de l'équalion (-38) — =6,5936..., — =i7,72---- — =33.69---» et pour ces racines elles-mêmes , ^' u=:5,i356..., 0= 8,42 • . . , u ^ 1 1,61 .. . Après avoir calculé les racines des équations (234), (-35)1 (^36), (237), il ne restera plus qu'à les substituer dans les formules (192) et (194) , pour obtenir les valeurs de r et de y relatives aux sommets et aux points les plus bas des différentes ondes. En opérant de cette ma- nière, on s'assurera que les valeurs de r et de y relatives au sommet de la première onde , au point de passage de la première à la deuxième , et au sommet de la deuxième onde, sont respectivement -0,1^97.. tv^ga, j = 2,333. r- r pour le cylindre / r= 0,2 5 5 4- • tV ga , y=o ; '^o,2i46. ./t/^, _)' = 2,27o..// y-^.y; •^0,2923..;/^^, j'= i,i8i../if — j = ; pour le cône / r^ 0,206 i. .tVgâ., _y = o ; r=io,\()0->j..tVjk, y=.o,\j(>..h (-7)"; r=o,3026..rv'';^, _)/= 1,616. ./î f-^J ■^; pour le paraboloïde. . . / ;-= 0,2206. ./"v'^ , j = o ; ;-=0,I942..;/^;a, ;/ = 0,687../; (77)^; Kk* 6o NOTtS = 0,25 88.. /v\^, 7 = o,824../;(j^)-ï; par la révolution d'une I /■ 1 . / — „ 1 ( '^ \h ' f , ./ r=o, 1674.. ;/i'a, V = o, 159.. /;( — r)^; parabole tangente a\ >/-■ r. j >y \gi ) ^ l'axe des x . r=- o, I 51 ^..tVga, >' = o,i85../;^-^y La règle par laquelle on déteriiiine le reste de la série de ïaylor suffit pour montrer que la somme de la série , qui forme le déve- loppement de cosfujÇ) dans l'équation (222) , est comprise entre la somme des 71 premiers termes de cette série, et la quantité à laquelle se réduit la même somme, quand on change le signe du n."" terme. Or il est clair que les séries (234) , (235) , (236) , (257), jouiront de la snême propriété, et qu'on pourra en dire autant des séries [-^) et (233), toutes les fois que la fonction f[a.s) ne changera pas%e signe entre les limites x=o, J =: i . Cette remarque fournit fe moyen d'assigner une limite inférieure aux racines positives de cha- cune des équations (234), (^3 5). (236) , (237) > &c... Par exemple, la première des équations (237), ayant son premier membre compris entre les limites ~7:j~i ÏX7 (~r), " "TTITr"*" 4-6.5 IxJ' ^(■--77) '^^ -rr('^-^)' n'admettra pas de racines positives , inférieures à V 20 =4,47 • • • On peut ajouter , et nous le prouverons plus tard , que cette équation n'a pas de racines réelles. L'équation (215), dont nous nous sonnnes servis dans ce qui précède pour déterminer la valeur de U, peut être remplacée par |)lusieurs autres qu'il est bon de connaître. D'abord, si dans cette équation on développe /( et j) suivant les puissances ascendantes de s , l'intégra- tion relative à s pourra s'effectuer, et, si l'on ftit (239) f{a.s) = A~\^Bs-^Cs--^Ds>-\-Es^-\-!k<:... , on trouvera NOTES. 2.61 f' {A-^Bs+-Cs'- -+- Ds^ -+- £j*-i-&c.) jcos(ufi)r/i= , /' I — cos u ^ >^ ,. /■ sinti^ '\ ,; ^ 1 — cos»{ '^ (240)/ _ -^j- — ;7:ï »"■■ et par suite (24.) t/ = . . /-. \a '^\ V ) B '' {—^) C ■' K '- ; j -il De plus , si dans le second membre de l'équation (2 1 6) on développe f^dUy/ij.- -t- fï) suivant les puissances ascendantes du radical y/^'-t-r , on en tirera (242) U = ±4«'y7[^-t-i9(/«'-<-r)'^-*-C(/^'-*-v')-t-Z)(A*'H-v')^-H..]cos((.v)^/aa'i/ /u = o , ju,^ y I — »- Pour faciliter dans cette dernière la détermination des intégrales de la foriTie il suffira de poser t/: i"'-t-V /"■/" a désignant une constante arbitraire et ?n une nouvelle variable. En effet, en substituant la variable m k la variable /x, puis intégrant par parties entre des limites quelconques , on trouvera 202 NOTES. « -H 7 2 K -H I , , , rn {a — m ) ai ) I l — ' ) a' r dm m\a—m ) — I ) d- /^ dm f .2.;...« dit- J m'(.i.)...n d. -+■ const Il reste à prendre cette intégrale entre les limites ^u, = o , /^r=y^i— ,- , ou, ce qui revient au même, entre les limites ?n=^o, m^a -y/i_,i , après que l'on aura effectué la difiérenciation relative à la quantité a. (Jr il est clair qu'on arrivera au même résultat, si l'on pose, avant cette différenciation, m^zb'. y^i — y= , sauf à écrire , après la différen- NOTES. z62 ciation, a au lieu de /^ et si ion supprime en outre la constante arbi- traire. On trouvera de cette manière et l'on en conclura / (/^H-v )^ on obtiendra les for- (•—"')• (> — »')' mules NOTES. 265 "i t"coi{vv)Ji [—) roo] \ XJ ) \ u / ( dv (,-.=)• La seconde des deux équations qui précèdent cesse d'être exacte pour une valeur nulle de n. Mais , si l'on intègre les deux membres de la première par rapport )x u, après y avoir remplacé n par l'unité , on en conclura > ii^r /-, -(--:•- Les trois équations que nous venons d'établir fournissent le moyen de calculer avec une grande approximation la valeur de U , dans le cas où la quantité u est très-considérable. En effet, les fonctions que leurs seconds membres renferment sous le signe f, se réduisant sen- siblement à zéro , avec le facteur e , lorsque la variable v devient très-grande, ne conserveront des valeurs appréciables que pour des valeurs finies de v, auxquelles corresijondront , si la quantité v est très -considérable, des valeurs très -petites du rapport -. Oi", toutes les fois que ce rapport demeure compris entre les limites zt i , les binômes de la forme se développent en séries convergentes ordonnées suivant les puis- sances ascendantes de - . Après avoir substitué ces développemens aux binômes dont il s'agit , on obtiendra facilement les valeurs des intégrales 1 , Sat'tins ctrangers. L I 266 NOTES. '■ ' / ^~'> I ° (I— vM- -J" ï(i — v')- J° développées eHes-mêmes en séries clans lesquelles les puissances as- cendantes de - se trouveront multipliées par des expressions de la forme et / ' ^- p , __' 5 5 -» + 7 . / '^N . - V puis , en attribuant successivement au nombre n les valeurs entières I, 2, 3 , 4, 5 ••• et ayant égard aux équations ^=/(o), .4 + 5+ C+ D-^- E-\-&c..=f{aL); <:^ = -;^/'\o), ,.2C+2.3Z)+ 3.4£-l-&c..= x=/" [et); D=^J"' (o) . 1.2.3 Z)+2.3.4£ + &c.. = cc'/"' (£t) ; ^ = 7T7:^/"'(°)' 1.2.3.4 /?+&<;.. rr=cc*/"-W; &c Sic on fera voir que , pour des valeurs considérables de u , la formule (250) donne à très-peu près (254) NOTES. U — 26 J -r[o]-\{'-y<^^f"'{o)^^^^{'-)\^r{o)-..\ j /(cc)sin(c;-l) &c. (Î4;i' — 240 n' -4- 164 « -t-4J "—3 ('•—3) , . et / (ctj _ , 5-5-7---("' + ') .C24 &c. iysi„(.-^iY^) i.3.5...(2«- ..4.6.. ^(i)Vw' V- &c. . . . Ajoutons que la formule (2j4) peut être déduite directement de l'é- quation (216). En effet, on tire de cette équation, en y remplaçant la variable fj. par le produit yu./, _v' , (255) U=:±ict'fj^ ( 1 -v=) ^ cos (u v].f{ J ° J o 2v/— r ^ " ^ • ' > /—Y ^ f » / • z ^ /— (' M-t- — (n- sin-T;;-'-! [ i-t- — (i-t-sin^TJ/-. 1 4a' roo r\ -y f( — cosTv/^ij — f( ^cost/^) ^^V/ /"^^ -^^^ {_/^; " — L^cos.^.^. Si dans ie second membre de cette dernière équation on développe, 1 ." les fonctions — ( H- — /^ )cosV/^' ) / «± — ^ ^^ } et /( =t — cost/— ) i-t-— (i-Hsin-T)/-. j en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des expres- sions a.1 f V \ / — ('— — V— ) cos't-/— i=t — (n-sin-rli/- 2..° [es fractions de la forme a. f / et rfc — cos T /— • ; 2 u 11 2U • - (,*:/=)Of^>;W^ )^..A^=jj--.^z_^ (,±,^„(,^ ,!„.,) /--.)"« 1 i_^-. un- 1 i U en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes du rap}Jort NOTES. 271 V — 3.° l'expression (' — — v'— m " et ses puissances négatives en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de -, les intégrations s'exécuteront innriédiateinent h l'aide des formules /-■- ,, , I . ; . j. . .(2;/— 1 ) TT ^Z . - Z.A.6 Iiti) f ^-cos"'T.dr=z —^^ y— ^ - , / ^snr'"T.cos"-'-'T.^T= , , , ^-^ > y" co „ r OQ n + '- —y . ' 3 î 2«-(-i - i.'frfi'=i.2.3 n , I V e (2v= -.-.-... • TT - , O J O 2 2 2 2 et l'on retrouvera l'équation (254); dans laquelle le coefficient du produit se présentera sous la forme a."f'">la] -+- f'-^^ -H '^^ ^— 7r'.-'(a) ^ p„+, )(,„_,) ^ ,^^ ^^+^ ^ ("-2)(v-.) -| »"-^/''-' (a) ^ _^ ^ j (2;»+i)(2«-i)(2»-i) ^ „-3 (,„-n)(,„-i) ^ („-;)(„_,) 2;;-t-. ^ {„-j) („-,)(„-.) j a —'/'"- V fa) ^ (, 2.4.6 I 2.4 1.2 2 1.2.5 j ^• , , , j{^"-t-')(2«— >)(2«— î)(2«— 5) «— 4(,,h-t)(2«— i)(2«— ;) („_4)(„_5)(„_, )(„_,)( a"-+/'"— >.' (a) -'•^■M 2.4.6.8 ^^- 17^76 — ^•••-^ — rrri — i — -^ — -' ^ 1 (2»/-n) [zn-,] (2»-j) (;„ — ;) (,«-7) „-; (;„-4-i) (,„_,) (.„-3)(,,„_5) ;«"-'/'"-!• (a) •^■^'M 2.4.0.8. .0 "^ , 2. 4. 6. S ^ i ^1 ' — &c ; )(2« — 5 )(2H — 7) 7.;. 3 f {a.) ±..3.5.7 i..-,)J^!^^ini-'-'^^-' 2.4.6.x. 10 { Ztl 2 ) .2« Si l'on applique successivement la formule (254) •' '^ détermination des valeurs de U relatives aux différens solides que nous avons déjà, considérés, on en tirera , pour le cylindre, 272 z a.' h / ITT \'- (259) ^=^ — (— ) pour le cône , ^ a.' h / z-rr \i NOTES. (262) ~ L 8 V I^ / ~" ^724 \v) "*" pour le paraboloïde de révolution , r '"> / ' \' , '°i9? / ' V . i,a.- h f zir \^ (-6.) C/=±*— (— ) L 8 V f/"*" io24\t^/ enfin pour le solide engendré par la révolution d'une gente à l'axe des x , ' ^-'Hm-^iiï- cos ( "— - j cos(.-^) sin(.--J cos(v-^) sin (u — ) \ 4/ parabole tan- in(.-p os(.-^) . ^yra' h Il suit de l'équation (254) que les ondes correspondantes à de crrandes valeurs de seront très -peu sensibles, si fa courbe géné- ratrice du solide immergé satisfait à la condition (263) f{ct) — o, et beaucoup moins sensibles encore , si la même courbe satisfait aux deux conditions (264) f{^)^o, /'(ct)=:o. Les conséquences géométriques qui se déduisent de ces remarques sont analogues à celles que nous avons tirées de la formule (S i). On peut d'ailleurs observer que la condition (263) est remplie pour Je cône et le paraboloïde; et la condition (264), pour le solide engen- dre ])ar la révolution de la parabole tangente h l'axe des .v. NOTES. 273 En joignant à l'équation (254) les formules (2-21), on déterminera très-facilement les sommets et les points les plus bas des différentes ondes correspondantes à de grandes valeurs de u. Concevons , par exemple, que le solide immergé soit un pnraboloïde. Dans ce cas, l'équation (254) coïncidant avec l'équation (261) , les formides (221) deviendront (265) tang(.-^)=lv-Ji(;) +&C. (266) tang(. + ^) =1.-11.1^ (l)-t-&c.... Si, dans l'équation (265), on réduit le second membre à ses deux pre- miers termes, on trouvera pour les trois plus petites racines positives ^=5,1282..., 0^8,4156..., 11^11,6191... Elles diffèrent très-peu , comme on voit, des nombres t;=5,i3..., 0^8,42..., t^^li,6l... qui représentent les trois premières racines de l'équation (238) ; et même pour la troisième racine, la différence est déjà au-dessous d'un centième. On pourrait mesurer le degré d'approximation que procurent les méthodes précédentes , et assigner des limiies entre lesquelles se trouvent comprises , non-seulement la valeur de £/ fournie par l'équa- tion ^258), mais encore les restes des séries que renferment les équa- tions (254)» (-59), &c.. . Pour donner une idée de ce genre de calcul , considérons le cas particulier où il s'agit du solide engendré par la révolution d'une parabole tangente à l'axe des x. Dans ce cas, la formule (258) donnera I 1- \ Ti 4'"' "■'' ^ (267) t/=qz— -j- V" -^,{-y- -i^/L/"=° r'^-r'l ['-4-^_^(.-4-sin^T)v/-.]' «V^ J Jo 7-T~\ 5 , cos't,/t^.. [■-^^(iH-sin^T)/-]' I . Stti'ans ctraiigers, j^ n» 2^4 NOTES. Or il est aisé de voir que, dans cette dernière équation, l'intégrale double renferme, sous les signes ff, une fonction dont la valeur nu- mérique est inférieure au module de l'expression imaginaire ]/ - e =- cosi T , iH — (n-sin-T ) (/-■ c'est à-dire , au produit 5 (' + -,) 1'-'--'^) l'-t--^cos+Ty (aobj 1/^ e cos'T. - ^, + _(,+ sin-T)-J Comme on a d'ailleurs évidemment et 5 ^ , S ^1 il en résulte que le produit (268) sera inférieur à i. / r J v' \ -1- et la valeur numérique de l'intégrale double ci-dessus mentionnée à Cette valeur numérique sera donc plus petite que le produit ( 1-1 ^j ^ , et en conséquence la valeur de U , déterminée par la formule (2.67), demeurera comprise entre les limites NOTES. 275 On fient en conclure que i'équation U=o n'aura pas de racine po- sitive supérieure à celle de la suivante ■(-^)(:)' = ». c'est-îi dire , au nombre 3,35 ... ; et, comme la quantité U est une fonction paire de u, qui ne s'évanouira jamais, tant que la variable u restera inférieure au nombre 4)47. •• {voyei la page 260) , il est clair que, dans l'hypothèse admise, i'équation f/=o n'aura pas de racines réelles. Quant îi la seconde des équations (221] , elle aura, dans fa même hypothèse, une infinité de racines positives, qui se confondront sensiblement, quand la variable u deviendra très-grande, avec les racines de l'équation cosfu j i^ o. Si, les trois conditions (269) f[ /'(*)> /"(<^)' <^c.... le premier terme qui ne s'évanouit pas, est une dérivée d'ordre pair, et que, dans le cas contraire, cette équation déterminera les ordon- nées des points de passage. Avant de quitter la formule (254) , nous ferons remarquer que cette formule se rapporte uniquement au cas où les dérivées de la fonction /(i») conservent des valeurs finies, i .° pour v = o, 3.S pour c= I. S'il en était autrement , on pourrait recourir encore aux équations (257) et (258), puis développer leurs seconds membres en séries ordonnées suivant les puissances entières ou fractionnaires de - ; et il deviendrait alors facile de déterminer les u ondes correspondantes à de grandes valeurs de la variable v. Ajou- tons que, dans plusieurs cas, les séries obtenues seraient composées d'un nombre fini de termes. Si l'on considérait , par exemple , les ondes produites par l'ellipsoïde de révolution dont la génératrice a pour équation (274) y = — h[^—~y, I on trouverait f [ol s] =z — h{\—s^)-\ et par suite on tirerait de l'équation (257) (275) L/ = ±— -(^cosu--sm.j. Dans ce cas, les sommets des différentes ondes correspondraient aux valeurs positives de u , déterminées par la formule NOTES. 277 , ,, /■ 1/ cos 1/ — sin t/ \ j u (276) dl 7 j^o, OU tangi; = -^--^, tandis que les points de passage correspondraient aux racines de l'équation (277) ucosu — sin i> = , ou tang 1/ ^ o , eniièrement semblable à celle que fournit, dans le cas de deux dimen- sions, un cylindre parabolique. Au reste, l'équation (275) peut être déduite immédiatement de la formule (216). Lorsque le solide immergé n'est pas terminé par une surface de révolution, alors, pour fixer les sommets et les points de passage des différentes ondes, il faut recourir, non plus aux formules (20S) et (215), mais à l'une des équations (191)» ('9S)>(^°3)> (-09)) que l'on peut transformer elles-mêmes, à l'aide des équations ( ' 3 3), (1 34;> &c. ,de manière à en obtenir d'autres qui soient analogues à la formule (256). L'équation (203) comprend, comme cas particulier, celle que M. Poisson a donnée pour la détermination des ondes produites par un paraboloïde elliptique. Si le solide immergé se réduisait à un disque, c'est-à-dire, à un cylindre ou à un prisme droit d'une hauteur très- petite, en nommant /i cette hauteur, on tirerait de l'équation (197) (278) U= ± /iffc vj> sin e , COS d'U a p . le signe étant choisi de manière que la valeur de t/ fût positive. Concevons, pour fixer les idées, que la base du disque soit un rec- tangle dont le centre coïncide avec l'origine, et dont les côtés soient parallèles aux axes des x et ^. En désignant par 2 oc cos T et 2 et sin t ces mêmes côtés , on trouvera (279) U^ ± Il j j cos — cos (/«rrfç =±''("y m =^ — a. cos T , «ar = a cos t _p:=: — a siu T , J) = a sin T sin f cos 8 cos T ) sin ( u sin 6 sin t ) 1-8 NOTES. Par conséquent, la valeur de y tirée de l'équation ( 194) s'évanouira, toutes les fois que l'on aura (280) sin(i/cosôcosT) = , ou sin (osinô sin t) ^ o , c'est-a-dire , lorsque les varialales t^ et 6 vérifieront les formules (281) u cos ô := ± ~- , u sin 6 ^ : n étant un nombre entier quelconque. Si dans ces formules on remet pour o sa valeur — — r— , elles deviendront ' 4r- (282) r^ =^± ^°" cos T cos 9, r' =± ^'^' sin t sin 9 , et seront précisément les équations polaires des courbes dessinées par les points de passage des différentes ondes. Quant aux sommets des ondes, ils seront déterminés par la formuIe( 1 9 5), qui , dans le cas présent, se réduit k (283) cos9 cosTCOt(ucos6 cost) -+- sin 9 sinTC0t(w sin9 sinr) = — . Si dans celle-ci on remet pour u sa valeur, l'équation qui en résul- tera entre les coordonnées polaires r et 9 , savoir , >; cet cos cos T ... sr a t im^ sin t cos 9 cosT cot ; 1- sm 9 sui t cot -: ^ (284) appartiendra aux courbes dessinées par les sommets des diverses ondes. Si l'on cherche en particulier la courbe dessinée en relief par la première onde, on trouvera une courbe fermée, ayant l'orisrine pour centre, et dans laquelle des diamètres maxima ou mlnima répondront aux valeurs de 9 et de r fournies par les équations 9 = 0,r=o,3 102. .{h-cos2t) «r/JI; 9:=;,r=:o, 3 102. .( I — cos2t) «r/JI; tandis que l'on aura, pour9 = ;-T, rr=o, 2995 ..( sin 2t )■;/". Pour le disque à base carrée, on aura simplement t^^it, et, par suite, l'équation (284) deviendra (285) cos9tang^^ ^^ h sm 9 tang ^ , ^ . — ^ gat' NOTES. 279 En discutant cette dernière, on reconnaîtra que la courbe dessinée en relief par la première onde , se réduit à une espèce de carré curvi- ligne, situé dans une position inverse par rapport au carré qui sert de base au disque, de manière qu'aux diamètres miiiima et maxima du carré donné correspondent les diamètres maxima et minima de la courbe, représentés par les produits 0,62.0^, . t -\/ g a. et 0,599 ••'i/^- Cette dernière conclusion se trouve d'accord avec les expériences récentes de M. Bidone, géomètre italien. Nous ne nous arrêterons pas à considérer les ondes qui sont pro- duites , lorsque , le temps venant ,à croître , le troisième terme de la série (17S) acquiert une valeur finie. Un calcul semblable k celui que nous avons effectué dans le cas où le fluide ne conserve qu'une dimension horizontale, ferait voir qu'elles sont tout-h-fait insensibles. NOTE XVII. Sur le Développement en se'ric de l'inte'grale. (l) K :^ I COS {2 /ifj.) '■ COS fJ. d/x.. Si dans rintégrale(i) on développe successivement en série, 1 ." le t facteur cos/x, 2.° Je facteur cos (^.kfx) - , on devra obtenir, h ce qu'il semble, deux valeurs de A' ordonnées , l'une suivant les puissances ascendantes de la quantité /< , l'autre suivant les puissances descen- dantes de la même quantité. La première de ces deux valeurs, savoir, ^^ 2 4- 5 -^ 0.7.0.9.10 est exacte. Mais la seconde , savoir, est inexacte , ainsi qu'on va le démontrer. Nous observerons d'abord que , si l'on développe l'intégrale 00 —{it/U.) ' (4) J^ e ' cos /^ Jy. .2.8o NOTES. en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de —, soit à l'aide du développement de cos/^, soit à l'aide de l'intégration par parties, on trouvera (5) J^ e cosf.d/^=-^li-j^j^-^-j^jy, ^c.J, et l'on peut s'assurer qu'efi'ectivenient cette dernière équation donne, pour de grandes valeurs de k, la valeur approchée de l'intégrale (4), pourvu que , dans le second membre , on conserve seulement les premiers termes qui forment une suite décroissante. Si donc la for- mule (3) pouvait subsister, il faudrait qu'on eût, au moins pour de grandes valeurs de la quantité A, (6) r ^ cos{2.kfji)'cos/ui. rf/jL^ — r e~'-''''^^' COS/J.J/X. Or, au contraire, on tire de la seconde des formules (11) [note Jll] , (7) / °° cos (zkfji.)^ cos/w d/u, = — - — (sin- -+- cos - J — / e cos//t dfjL , et cette dernière exclut évidemment la formule (6). On pourrait objecter, en faveur de l'équation (3) , qu'elle se dé- duit, aussi bien que l'équation (5), de l'intégration par parties. Mais il est essentiel d'observer que cette dernière intégration ne donne les valeurs approchées des intégrales que dans le cas où , après un certain nombre d'intégrations partielles , la valeur de l'intégrale qui repré- sente le reste est fort petit. Or cette circonstance , qui a effective- ment lieu, quand on développe en série l'intégrale (4), ne subsiste plus dans le cas oii il s'agit de l'intégrale (1). On n'a plus même alors aucun moyen de déterminer les limites entre lesquelles le reste se trouve compris. Pour confirmer par un calcul numérique l'exactitude de l'équa- tion (7), concevons que l'on attribue à la quantité A la valeur 8,36... qui détermine la première des ondes tracées en creux à la première époque du mouvement. En substituant cette valeur dans les équa- tions (2) et (5), on en tirera notes: 28 1 (8) / cos (2 Â/j.)^ cos fj. d'/j. = K ' — 4,654.. -I- 5,158.. — 2,5 18.. -H 0,689.. ) = 8,36... X ^ > 0,1 2 I.. -)- 0,01 5.. 0,001 .. -H &C... ) = — 3,61 ... , et (9) I f "*■' '"^ ^ COS//.^/i =;: 0,1 20-0,026-1-0, Oi3-&C.=^0,I I .. . Lorsqu'on prend le dernier résultat en signe contr.iire , on obtient la quantité négative — 0,1 1 . . . très -sensiblement différente de la quantité — 3,61 ... ; de sorte que l'équation (6) est manifestement erronée. Mais on retrouve à très -peu près la seconde de ces deux quantités, quand on ajoute à la première le produit { sin ^ a: -t- cos -— A: , qui, dans l'hypothèse admise, se réduit .*i — 3,5 i ... Les remarques que nous venons de faire prouvent que l'on s'ex- pose à de graves erreurs , lorsqu'on détermine les fonctions par le moyen de leurs développemens en série , sans tenir compte des restes. NOTE xvin. Sur les Intégrales définies singulières et les Valeurs principales des Intégrales indéterminées. J'appelle intcgrale définie singulière une intégrale prise relative- ment à une ou à plusieurs variables entre des limites très-rapprochées de certaines valeurs particulières attribuées à ces mêmes variables , savoir , de valeurs infiniment grandes, ou de valeurs pour lesquelles la fonction sous le signe f devient infinie ou indéterminée. Ces sortes d'intégrales ne sont pas nécessairement nulles , et peuvent obtenir des valeurs finies ou même infinies, qu'il est ordinairement facile de calculer, comme je l'ai démontré, pour la première fois , dans un Mémoire présenté à l'Institut le 7 novembre i 8 i4, et approuvé sur un rapport de M. Legendre, dont les conclusions se trouvent imprimées dans l'analyse des travaux de la même année. Ainsi , par exemple , I , Sai'diis cirangers, N n 282 NOTES. g désignant un nombre infiniment petit, et a, b, deux constantes po- sitives, on fixera sans peine les valeurs des intégrales définies sin- gulières. („ y;;'JiL._,-|„„(|), /:-"-M.,=r|,)/(^). On trouvera encore, en désignant par a. , £ deux nombres infiniment petits , - J a-i ' *'^' a.--^[tJ. — aY z (2.\ ' * ) , r.t-i-t ^ , s "■'^M- '^ T7 ( ^\ \ -^ / FAtA — : — -, 1- = — •ra'^j' ( - J a-i -^'^' a.-^{fJ. — a; i ^ Enfin, comme, dans chacune des intégrales (7) de la note VI, [a fonction sous le signe / est sensiblement égale à zéro pour toutes les valeurs de i/. qui ne sont pas très-rapprochées de d, il en résulte que ces intégrales se réduisent aux intégrales singulières déterminées par les équations (2). Lorsque, dans une intégrale de la forme (3) £y{.)dx. la fonction sous le signe /devient infinie pour des valeurs de x com- prises entre les limites x„, X, et représentées ^zï x ,, x, . .. . x„ , cette intégrale est le plus ordinairement indéterminée. Mais, si elle entre dans le calcul comme limite de la somme (4) /";■ ~ vw ^- +X7r/^ w dx +.. .-h/;'_^/w dx , elle reprendra en général une valeur fixe à laquelle nous avons donné le nom de valeur principale. Cela posé, soient {{x) et F{x) deux fonctions tellement choisies que le rapport '•5-' F [ X -i-jy y-, } ne varie jamais d'une manière brusque entre les limites x-=x^, X =A'; y=y„ , y = Y. Désignons par at, , x, . . . x„ . les racines de l'équation -— -— = ± 00 , F{x) NOTES. 283 dans lesquelles les parties rédies demeurent comprises entre les quantités x„ , X, et les coefficiens de -j/ — i entre les quantités y^, Y. Enfin supposons que ces mêmes racines appartiennent toutes à l'é- quation (6) F{x) = o. Si l'on intègre par rapport aux deux variables x, y l'équation iden- tique (7) V f(^-)-^v^) ) ^ \, f{.+jv-,} I et que l'on remplace dans chaque membre l'intégrale relative à v par sa valeur principale [voyez le Résume des leçons données à l'école royale polytechnique sur le calcul infinitésimal, tome I."], on trou- vera rx I f(.v+ }-/=;) _ f(.v + v„v/^) s ^^ Ja„ ^ f(A:-(->V^) F(x-hyoV~') I f(^,) , f(.vO , , f( Il est essentiel d'observer que, dans le second membre de l'équation précédente , chacune des fractions (9) ^TT-T doit être réduite h moitié, quand elle correspond à une racine dans laquelle la partie réelle se confond avec l'une des quantités x^, X, ou le coefificient de -^^—i avec l'une des quantités y„, Y. Lorsque la fraction (5) s'évanouit, i .° pour ,v = ± o& , quel que soit y, 2.° pour y ^ 00 , quel que soit x , alors, en prenant Ar^= — co , X^ , _y„^o , F=^oc , on tire de la formule (8) roo f(.v) / f(.v,) , f(A-j , , iM.\ /— On trouvera en conséquence, pour /"(*)= i -t- x" , Nu* 284 NOTES, et , pour F{x) =1 — x'^ , ^ fw ...__^../-^_ r"^ f'±tIh:iLdx ('2) < ^ ^ /-^ )"(.vH-f(-.v) j = / — dx. On ne doit pas oublier que , dans le passage de la formule (10) à i'équation (12), il faut réduire h. moitié chacune des expressions (9), et que l'équation (12) fournit seulement la valeur principale de l'inté- çrale qu'elle renferme. Si , dans les formules (11) et (12), on pose successivement f(A-)= ?'"^~' , et f(,v)=A-(''''^ , on en conclura y"^ cos.îi- , T — a f^^ xiinax -t — a dx^z.—e , I ^dx=^ — e , (' 5 ) < ^ * /• °= cos /z .ï , rr . r °= x nn a x I d X ■=! — sin a , 1 dx = J " \ —x' 2. J „ \ — X- cosa . Les deux premières des équations (i j) ont été données pour la pre- mière fois par M. Laplace. Lorsque la fraction (5) s'évanouit, i.° pour x = 00 , quel que soit j', 2.° pour7 = oo , quel que soit x, alors, en prenant a-„=o, X= 00 , j„ = o , ¥■= 00 , on tire de la formule (8) En posant, dans la formule ( i4), F(^x)=zi-x\ réduisant h moitié la fraction ^^ = P^ = — i f(' ) . et remplaçant les deux- va- riables x,y par une seule variable /x, l'on trouvera (■5) / T^r^^^^^v^-X -t:;^'''-^^^'^-^-" NOTES. ^85 Si l'on prend d'ailleurs f(/x) = e"^ ^~' , l'équation (15) donnera ou , ce qui revient au même , ix^oo dix J [cos(aM^) H-/-, sin(^z/^=)] ^ZTfir —fj^ [sin(<2A^^) -+-/=:7cos(rt^=)] ,^^^. -\ [sin a — y — , cos a J , et l'on en conclura r"= d/A. T . r^ du. I coi (au.-) =— sin<7-l-/ sinfrt/i-) -, /^ djU T r^- dfJ. sin (û u= ) = cos a -h- / cos [a fj.') , J' [cos{aiJ.') — &in{afj.')] _ j"^, = — (cosa-i- sinrt)- / [cos((7yu=)-sin {a/j.-)] ^ , . (.8) Ces diverses équations fournissent seulement les valeurs principales des intégrales que renferment leurs premiers membres. Concevons maintenant que , dans la seconde des équations (7) [note II ], l'on remplace m' par a/j.^. On trouvera !cos {afji-) — sin {ajj.') :=: / 8 \î /"» . , , i , , ( — 1 / sin OT " . cos (2. a- n'a!) .d'à ; puis , en ayant égard aux équations (13)» l86 •^ o NOTES. cos [a fi') — i\n{ii ju' cos ( lu 'Oriu ) d/JL (îo) = ( 2 tt) - / sin -îs-' . sin ( 2 ,5 - 'îs- ) d^ , f 0° cos(a/i') — s\n{a/^') I -H/* ^/x Par conséquent, l'équation (i 8) pourra s'écrire ainsi qu'il suit : (277-)^ f s'm'sr^ sini^a^'nr) d'sr =z — {cosa -^- s'ma) (^0 I /-• oo -(2.)^/ sin rsr- , e' De plus , en posant iir':=/j,, et intégrant par parties, on établira facilement les formules ' f sin OT- sin ( 2 a = ■zr ) d'à ■=- I &\n{ia'iJi-).sin[ji. — ; = — r/ cos(2(î'/x=). cosyu.;///, ^-' « fj-- -^■•' ° sin "ït'. I (22) =;r la' /i . t (///. = — ( cos a -H sin a ) — ( ~ ) / ^ ' cosfj.i///.. (23) Si l'on multiplie les deux membres de cette dernière par ( — —) > et si l'on fait en outre a = j; k , on obtiendra précisément la fî;)r- mule (7) de la note précédente, savoir, / COS (^ 2 k /jl) ' COS fJ- d fj, = ; — ( cos - -H sin - 1 — / e cos /j. d/x. On parvient encore à des résultats dignes de remarque , quand on combine la troisième des formules (i 3) avec les équations (10) de la note II. En effet, si dans ces équations on remplace m par a, et -ar par /x , on en tirera cos a = ( — j I ( cos/.t' -+- sin /j.- ) cos j- i^/x sin a = ( — ) / (sin ju* — cos/m") cos p d/j. Comme on aura d'ailleurs , en vertu de la troisième des formules (13), ,1' V ds Sin = — I cos ■ïï J a 4M-' -^ J a 4/"' on trouvera définitivement 288 NOTES. (25) cosa= (^~y J^ (cos^=-«- sin/x')cos — ^/* ^)' I (sin^= — cos/x' ] cos — ^i" + ( V) ' y„ y„ (s.n/x-4-cosM-) cos — ^-^. C'est à l'aide de l'équation (25), et avant d'avoir établi les formules de la note VI, que j'ai obtenu pour la première fois les équations (d) et (f ) de la note xvi. Je vais indiquer en peu de mots la route que j'avais suivie pour arriver h ces mêmes équations. On a vu, dans la seconde partie du Mémoire [section III, §§.4 et 5 ], que, si l'on désigne par S- la densité du fluide, par y l'ordonnée de la surface qui correspond, au bout du temps /, à l'abs- cisse X, et par F(a) l'ordonnée initiale, on aura, en supposant le fluide réduit à deux dimensions, et les vitesses initiales nulles, (27) y =: %J~cos OT.v.cos m z g z r.4 {ni) -m 2. dm , pourvu que l'on assujettisse la fonction 4('«) à vérifier l'équation (28) F(<7) = — ^ — If cos ma. -\'{m).m'^ dm. Si l'on considère en particulier le cas ou F{x) est une fonction paire de la variable x , les équations (27) et (28) deviendront I 1 -L ' (29 ) >■ = y"cos ;;/ X . cos m z gi / . 4 ('«) . m V dm , (30) F{d)z= — ; f cos ma. -^ {m). m'^ dm . De plus, si, après avoir posé , dans la formule (25), a=^m'g't, on NOTES. 289 su^)stitlIe la valeur de cos m' g't dans l'équaiion (29), on trouvera, en ayant égard à la formule (30) , (30 y = II suffit de concevoir que, dans cette dernière, la fonction F(\) re- devienne tout-à-fait arbitraire, pour obtenir la valeur la plus générale possible de l'inconnue j/. Lorsque la fonction F{x) n'a de valeur sensible que pour des valeurs de .v peu différentes de zéro, alors, en attribuant h la va- riable X une valeur positive et finie, on trotive (3^) 7 = il ( cos yu - -4- sin // M F ( -V ) ,/u J a \ \ fj.'- ) puis, en posant, dans l'intégrale simple, x— ~ — ^ = -sr , dans l'inté- 4 ^ grale double , x — - — ~z=z'a , et remplaçant v par v' , (53) J=^^/cos— 2 ^-Hsin— -= ^ _Li_ V " /h y"l''Sr ) ^^23- ::r. / / |cos — sin — :^ ) — I , Sii\ani étrangers. O o 2pQ NOTES. Comme on ;iura d'ailleurs , en vertu de l'équation (i 8), 4 (34) cosiz -H 5in^= — / [cos(a;u = ) — sin(^^')]-- — - et par conséquent gt . gt CCS — ; — h sin • 4 ( j- - 'sr ) 4 ( a: - -sr ) on tirera de la formule (33) (35) y = ■l rC^l gl'l' . gl'l' \ n' -^— // I cos sin ] / ,^ J J \ 4{x-^) 4(ï-ot)/ I— »' ■Try zTT -' -^ " \ 4{Ar — 'Zr) 4 ( ï — •ar ) / 1 — »' ( ,v — •ar)- puis, en ayant égard îi la première des équations (20), dm d^Tff f,6) v=-S // sin — ^ -. sin/n- . F(^) Enfin, si l'on transforme la valeur précédente de^, à l'aide de l'équa- tion (21)' "^'^ trouvera (37) ;- = ^^' ri ^' ^ ''^'' , ^-''\ C" -[-^\-<«. , , \F(^)d^ / { — ri ces -H Sin- - / e v-^l smm'.dm) ^ , ■" J \ - \ x—'sr x—fO-l Ja l / ,1 ( 2- \ / J (« — 'sr)- Les formules (36) et (37) coïncident avec les formules (d) et (f) de la note xvi. On doit y supposer l'intégration relative à 'n effectuée entre les limites 'a:=-oo, wt^oo , ou simplement entre les limites ■3r=:= — oLj-OT^-i-cL, si la fonction F[,'^] n'a de valeurs sensibles qu'entre ces dernières limites. NOTES. Zpl Si dans le dernier terme de l'équation (25) on remplace 1/ par V" , et /u par yw 1/ , on en tirera cosâ = r — V 1 { cos fj.^ -\- sin fA.'- ) cos ' ^ dfj. (38) \ ■'' ° 4 f ^\~' r^ r'^ , , , . '' cos fj. -+- sin ''■=^r et par suite (39) cos^ = V (i)^/""'/" (cos,M=.= -sinM=v = ) ^4^ . cos -^ ^^. D'autre part, on conclura de la première des équations (20) , réunie à la première des équations (22) , (cos/x'v' — sin/^'v = ) z=:z[27r]'f sin -iv' . sin ( 2^ot ) ^-sr = ( — ) — / cos (2 fjLv') .cos V dv = ( — 1 7- / cos V = . cos — a V . Par conséquent, l'équation (J9) donnera 'Cc^co rt"" V - A fJi (it {4o1 COS a =: - I I cos . cos . cos v ' ^ ' ■^Jo Jo 4^ 4/"' Enfin, si dans cette dernière on écrit d^ au lieu de a, m au lieu de 00* 2^2 NOTES. , et u au lieu de v , oa obtiendra la formule (41) cosa' = — / / i:os ani .cos m/j. .cos /x- dfi dm , laquelle s'accorde avec la première des équations (3) de la note vi, et conduit immédiatement h la valeur de y , fournie par l'équation (58) de la seconde partie du Mémoire. Si l'on remplace, dans la formule (8) , la fonction f{x) par le pro- duit f{x)t- ' ~' -, ya par zéro , Y ])ar l'infini positif; et si l'on sup- pose d'ailleurs que la fraction ^^~*~-^ — w^ s'évanouisse pour^^oc, alors, en prenant successivement .v„ = — vï^, .*-„=: o , puis écrivant, dans le second membre, - au lieu de y , on obtiendra les équations ,, , /~^' ([x) vx/—, i {IxA ux.i/^, ) , "* — ^^ / \ — 7 — : 7*" - — 7 :: r^ )^ ^-<'» (43) X T(Â' ■''' = '-■' \tï7X' +&c...|/r-. H -^= / { — ; e )c dx , Les équations (42) , (43) , et celles qui s'en déduisent, comprennent, comme cas particuliers, les formules (131), ('32), (133), ('34)., P35), (136), (251), (252), S(c.'.'. de la note XVI. De plus, si l'on pose, dans l'équation (42I, — — = .- , on aura .v, =0 ; jjuis, F[x] x[.-x-)-- _ en réduisant ;i moitié la traction „ , , e ' ' ' ~' = 1 , et substituant la lettre v à la lettre x , iki trouvera NOTES. 2,513 "^ ' — r dv = 77 /=T l(-'y-)(-^/--)' (-y--)('-fy-)^ En égalant , dans les deux membres de cette dernière équation , les coefficiens de |/^ , et les divisant par 1 , on obtiendra de nouveau la troisième formule de la page 265. im^ NOTE XIX. Sur les Fonctions réciproques. Il suit des équations (3) de la note VI que si, la variable x étant positive , on prend et I (2) f [x) =. {J;^y j^ 4 'MJ.sin^A-.^/^, on aura réciproquement (3) "^ '■*')~ (v) '/^ j[fx).QO'ifJ.X.dtJ., et (4) 4M= [^Y fj^ f[,^).s\ni..x.d,.. En d'autres termes, les formules (1) et (2) subsisteront encore après l'échange de la fonction y contre la fonction 9 , et de la fonction / contre la fonction 4- On voit donc ici se manifester une loi de ré- ciprocité, 1.° entre les fonctions _/" et 9 qui satisfont h l'équation (i); 2.° entre les fonctions/" et 4 cj"i satisfont à l'équation (2). Pour cette raison , on peut désigner les fonctions y ei 9, ou /et 4>^ouslenoin de fonctions réciproques. Les propriétés remarquables de ces mêmes fonctions , et les avantages qu'elles présentent dans la solution d'un Z'^4 Notes. grand nombre de problèmes, m'ont fourni le sujet d'une note que j'ai insérée dans le Bulletin de la Société jjhiloniathique d'août 1817. Toutefois il est essentiel d'observer qu'au moment où je rédigeais cette note, je ne connaissais encore d'autres Mémoires où l'on eût em- jjloyé les formules ( 3 ) [ note vi ] , que ceux de M. Poisson et de moi sur fa théorie des ondes. Depuis cette époque , M. Fourier m'ayant donné communication de ses recherches sur la chaleur, présentées à l'Institut dans les années 1807 et 1 8 i i , et restées inédites jusqu'en I 8 ip , j'y ai reconnu les mêmes formules, et je me suis empressé de lui rendre à cet égard la justice qui lui était due, dans une seconde note imprimée sous la date de décembre i 8 i 8. Lorsque, dans les équations (i) et (2), on susbtitue à ip(/x) et 4(/") leurs valeurs tirées des équations (3) et (4), on obtient les formules f[x]^— I COS f/. X . COS /J. 'Sr . f { 'Sr ] ei /x tJ ■U , f[>')^—\ I sin /xx .i'm /x'sr . /{'sr) d/j. ^m. Ces dernières, qui sont entièrement semblables aux équations (3) de la note vi , supposent encore la variable x positive. Mais il est aisé de les remplacer par d'autres qui s'étendent h toutes les valeurs réelles de x. En effet, concevons que, F{x) désignant une fonction quelconque, on prenne f{x) = Fix)-i-F{ — x], /(x]=^Fix)-F{~x). On tirera des formules (5) F{x}-^F{ — x) = ~ I I COS /x X . cos /x'!sr.[F {m } -+- F{ — -ar)] c/yu d'à ^= — / _ / COS fx X , cos /X'sr . F (-îsr) . ^/fx d^ , F[x)~F[-x) = — / / sin jU ,Y . sin jU-îB- . [ ^ ('OT J — F[ — 'sr) ] d /j. d 'sr = — / / sin fji. \- . sïn ij-iu . F [nz] d fx d-v^ , NOTES. 295 et par suite , F[x] = — / / [cosixx .coi iJt.Tir -'f- fXn fjLX .Un iJi-a) F [ta) J/ji/iis = — /_ / cos /i ( •a- — x) .F {, I . Savum étrangm. P P 2C}8 NOTES. on reconnaîtra sans peine qu'au bout du temps t-+-At, les coordon- nées de la première molécule étant (6) x-{-u^t,y-^-v^t, i-\-tDAt, ceUes de la seconde seront h très-peu près !/ lin du Alt \ \ '!>■■ tly 'Il I f dv dv dv \ / dv dw du' \ 7 -t-^-t-lwH — a. -\ r-^-l T y ) ^^■ ^ \ dx dy di I Par suite, les projections a, Ç,,y de la distance g des deux molécules sur tes axes des x, y, ^, ou , ce qui revient au même, les différences entre les coordonnées de la seconde molécule et les coordonnées de la première, deviendront, au bout du temps t-^M, (8) Donc, au bout du même temps , un élément du fluide, qui se présen- tait d'abord sous la forme d'un parallélipipède rectangle ayant pour sommets opposés les deux molécules, et pour arêtes les longueurs a, Ç,, y, se sera changé en un nouveau parallélipipède dont les arêtes , donneront pour projections respectives, la première sur l'axe des x, la seconde sur l'axe des j, et la troisième sur l'axe des ^, [es trois quantités (- du du du / 17 -+- c H -f- y T ^^ (• dv -+- c du 17 -t- y dv ) A^ (- dw dw dw ) 17 -+- c ~Jy -4- y ' Ar. ' NOTES. 2{)9 Ajoutons que, les angles compris, i.° entre deux arêtes du nouveau parallélipipède, 2.° entre le plan de ces deux arêtes et la troisième, étant droits à peu de chose près, les sinus de ces angles différeront très-peu de l'unité ; d'où il résulte que le volume du nouveau paral- lélipipède sera sensiblement égal au produit de ses trois arêtes , ou même au produit de leurs projections, c'est-k-dire , à (9) = ^Cy |^,^^_+_+_J^,+ ...J. Enfin , comme la densité du fluide, dans le voisinage de la première molécule , sera devenue, à l'époque dont il s'agit. di' df- dJ- dJ'- -H U -4- V + 7(1 -, _ di df 4^ ''l (.0) J--t- ^_^ +„ +,„ a;, il est clair qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre , on trouvera pour la masse du nouveau parallélipipède r I du dv ( ' 5), ( 1 6), (18), réunies aux conditions (2i)-et (22) qui doivent être remplies, quel que soit /, pour certains systèmes de valeurs des variables .v , y , ^, suffiront pour déterminer les diverses circonstances du mouvement du fluide. Considérons en particulier le cas où , le fluide étant homogène , les déplacemens 0, )i, Ç, et les vitesses u , v, w , conservent constamment des valeurs très petites. Dans ce cas, la formule (i 5) sera remplacée par la suivante : (23) °" trouvera On satisfait à cette dernière équation , quels que soient jr et ; , en prenant (42) e I rdt — e j s d t =z o . Quant aux équations (22) , elles deviendront respectivement (43) y—r = F{x — ^), p=P. Si l'on considère l'ordonnée initiale F(x) de la surlace libre comme une quantité infiniment petite du premier ordre , la première des équations (43) se réduira sensiblement h > = «-+- F{x) ; ou, si l'on remet pour r et F{x) leurs valeurs tirées de la seconde des formules (38) et de la formule (9) [note précédente] , et si en même temps on remplace les exponentielles e'''' , e'''-'' par l'unité dont elles différent très -peu quand j/ est très-petit, on trouvera (44) y = Comme on aura d'ailleurs jedx^J/dy-^Z^di=^—gdy, d ,«(*■ — '=f)/^ , 7 ou , à très-peu près , (47) [-g^)y+i-^f-^p^[r^s)c''^'-'^^^-d^d^=o. Si maintenant on élimine y entre les équfntions (44) ^t (47) , on obtiendra la formule = 0, à laquelle on satisfait en prenant (48) r-^s-^gi^{Çfrdf-~ffsdt^]={g^)F{m\ Cherchons maintenant les valeurs de r et de s propres à vérifier les équations (4^) et (48) , dans lesquelles les intégrations relatives à t sont toutes effectuées à partir de r = o. D'abord, si l'on diffé- rencie l'équation (4^) par rapport à t, on en conclura De plus, si, après avoir intégré l'équation (4^) par rapport h / et .'i partir de ^=0, on la multiplie par ~° , puis, qu'on l'ajoute à l'équation (48), on obtiendra la suivante : NOTES. 30p u I, — ,u h (50) r^s^g/^ _l_ZLl___y/(,+ ,) l/-' (/^.rf-îir, OU, ce qui revient au même , (58) p=.P-(g^)y '■ / / co%M'g-t.co^u.[x—'a).F['T!s')dixdiir, La valeur de ;; étant ainsi déterminée , on en déduira facilement celles des autres inconnues , h l'aide des équations (28) et (51), dans les- quelles on substituera, au lieu de p—P, le dernier terme de l'équa- tion (57). Quant à l'ordonnée de la surface libre du fluide, on l'ob- tiendra immédiatement k l'aide des équations (4/) et (5 5), desquelles on tirera (59) \ \ r'^ r^ i 1 — /_ / cos /J/=^ = /.cos /^ (a- — 'S!^.F{^') d^ dts . Si Ion restituait au fluide ses trois dimensions, il faudrait employer l'équation (30) , au lieu de l'équation (32] , et la formule (10) de la note précédente, au lieu de la formule (9). Dans ce cas, en supposant toujours la surface libre du fïuide très -rapprochée du plan des x, ^, désignant par y = F{x.i) l'ordonnée initiale de cette surface , et faisant, j)our abréger , (60) 7V=(^=_HvO" ^(^'^y')--h^^-(u^-^,'\ ■h ■5 NOTES, ^lî on trouverait pour f'orclonnée de la surface libre, au tout du temps /, (6,) y = ^J- coj- ce/- «/- co*^"'^ 'g'r.cosf^{'!^-x).C05y{j>-i].F['!^,j>)d,^M'mJf ; et, comme on a généralement [ voye?^ le 19/ cahier du Journal de i'F.cofe royale polytechnique, page 530] / / J {h-' -^-i-).cos afji.. cos bv .djx dv = i / y suir.cos- iJ..f{tj.v) dix dv , il en résulte que l'ordonnée dont il s'agit pourrait être présentée sous ia forme (63) y = la valeur de R étant - fx y h — u V h ^_^v/l ^^v// Si la profondeur h du fluide devenait infinie , les équations (5 y) et (63) deviendraient respectivement I /^ co ^ ce I 2^ (65) y^~J^J COS fx'g-C.COSjuÇx 'u).F{'!s) djxd'Sr et (66) ^ = 7-^'J -'^J --^J „ y„ cos(a les coordonnées du soleil; M. m", ni', les masses de la terre, de la lune et du soleil. Si l'on fait, {A!-t-m")ii m' (.v.v' -4-_)7' -t-zz' ) ^ — m- V' ■■->-_)■" -hz"). L(A-'— .v)^-H(>''— >■)' on a, pour déterminer le mouvement relatif de la lune autour de la terre, les équations difTérentielles , 7? 77' \ ~ j ' TF 77'' \~ ) ' 17 ~ .h- ~ \ dz ] dt étant l'élément du temps. Si l'on ajoute la première de tes équations multipliée par — sin f à la deuxième multipliée par cos v , la première 3i& r— -— - MÉMOIRE muftipiiée par cos v à la deuxième multipliée par sin v . et si l'on y subs- , , cos f sin ;• j titue ensuite les valeurs .v i^ , y zzz , Z'^^^^ — , on aura , en faisant = { 4r ) ^*"^ - ( 47)"^"^ " = ( 4r ) "^ '■ ^ ( ^ ) ^" " ^ d^v 2 dv du dv d dt' d-u . , . . ... -nu Il dt' udt' dt' dv' idu' dud'l dt' u'dl' u dt' î dv' ds d'v ds Tt U dv dt' dv dt' ci' i s du' dsd^v ds I dQ_ dr' -'""-^"(ir)- .dv Lapremière de ces équations, étant multipliée par ^—r- et intégrée, donne ( dv \^ . ^ dv ^ I^^Tjp) =//' — Ji'rr—^, If étant une constante arbitraire; on a donc dt = -V'-'f^ Les deux premières des mêmes équations deviennent par l'élimination de du, du d'v d' u d y' TT du = n — u'dvdt' ii'dl' udt' iidv d'où l'on tire, en prenant Jv pour constante, et substituant pour dt sa valeur précédente , du n —-JT d'u udv dv' l r-adv \ En traitant de même la troisième équation , on trouvera. SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 3I9 d(l \ T^J m— d' s \ dz I dv dv' Celaposé,ona ou en mettant pour dx , dy , di, leurs valeurs , '"! = -?[(f )»'-(f )""'-^'(f )] -t[(I) — (f)""]-T(f). on a encore dQzizdui —j^ \ -¥■ dv( —j^ j-^dsi —jj- j : ii résulte de la comparaison de ces deux valeurs, (4^)=-.[(§)»'-(f) — (^)]' \ "ZT ) ^ ~ 7 L l "^ ] "" " ~ \ 17 ) "'" J ' \ ds I 1, \ dz I " d'où l'on tire "=-(§)-(^)-'"'— (^)^ (f)-(f)- Les équations différentielles deviendront ainsi : dv de = I d'u \ r ^ ri dQ_\ du -\ du I 'i(J. \ ' / -^G \ '' = \-f7^-^")1'-^tJ [77} — ]^J^1^^\~I-^'\~) k'u \ ds I 320 MEMOIRE \ ,/.= '*' / l''^ h' J \ ,li' I U-- J "*" h'u--dv \ dv ) h'v \ du ) _ '-^^' ( ^ \ h' u' \ ds 1 ' 2. Pour réduire l'expression de Q en série, on a d'abord, en mar- quant d'un trait pour le soleil les quantités relatives à la lune, le déve- loppement du radical de cettte expression égal à l/T 3 •>7 îj' I -hs' -] uu' lu' J - I, I J m' u «' ^ r ss' I -+- 5' "I — XX' -^j,y -+- —, -— 2(,- [ •x>' l( .-*-î ' a'' r js' 1 -H î' "1 5— *'' -♦-»■' H ; ;— ,,217 L "K î«' J &c. ce qui donne, après avoir substitué pour x,x' ,y,y' , leurs valeurs, et en négligeant les quantités des ordres m' u' ^ s^ et m'u'^s'^. <2= (A/- /" /i-t-s' m' u ' > 4 u' m ' u" 8 «î m' «M 64»* [ 1 H-3 cos (zr 21/') -H 12 jj' cos (v^v') — is'j [ 5( 1—4 ^') "S ('' — ''' )-+-î-<:os{j t/— 31/')] 'ç-Hao.coslii/ — 2>'')-HJJ.cos{4^ — 4»'')]. En regardant le rapport des moyens mouvemens du soleil et de la lune, qui esta peu près — , comme une quantité très-petite du premier ordre , une inégalité d'un dixième de seconde sexagésimale dans le mouvement de la lune ne répondrait qu'au cinquième ordre ; et le rapport des dis- SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 321 tances de la terre à la iune et au soleil étant environ , on peut 40c * négliger dans l'expression précédente les termes de l'ordre a''; on peut encore y supposer s z=. o , ce qui revient à prendre pour plan de pro- jection celui de l'écliptique vraie ; la latitude de la lune au-dessus de cette écliptique reste la même que dans le cas de son immobilité, comme on le verra dans la suite. D'après ces considérations il est facile de conclure, en prenant pour unité de masse la somme A4-\-m" des masses de la terre et de la lune, liQ \ 1 m' u' ^ m / dQ \ --^ m' u"< ]m' u'^ I — — = ^ i\a{zv—^v') — ^ , (1 — 4j')sin(y — f')-t-5.sin(3r— 3 1'')] ; \ dv I 1 w 0« = dQ \ ^" m' u' ' s j m' II' * i m- cos Iv V' i -hs' > ces valeurs étant substituées dans les équations différentielles, on aura enfin , d^ u I m'w' ^ m' u' ^ — ' -■ ' cos { 2 V — 1 y' ) \ m' 11' ^ du ] m' I d' u \ /^ u' '> du ^ .sin [2 V — 21"') I -H K I / : — sm ( 2 >' — xv' ) z h' II* dv (9 — '^'')"''""' , ,, 5 ( ' — 4^") »"' "'" "^^ . , ,, coi [v — v') o I. , y "" (" — " ) îh'ii'' ' îh'ii^ dv \m' I d- u \ r u' '' dv [ \ — 45^) 15 m' /('* I H « I / • sin ( 1/ — 1' ' ) H . cos ( 5 1' — 51 I ^ m' II' * du 8 A = a 5 dv 15 m' / d' u \ r u"* dv -(î.-jO-— ;^(^;r^-'' )J — -sin(,._3.'); d' i 5 m' 1/5 5 -im'u'^s ^ m' u' ^ ds , \- i -i 1 • cos l 2. V — IV'] — — . sm : V — 21/ dv' i/i'u" ih'u' ^ ' 1 h' u" dv :^m' l d' s \ f u'^ a. ,, I, Savam étrangers. S% 3*i MEMOIRE an <» — »•) -t '■ cos f î >■— 5 j-' ' . —^ sm ; ; I' — j r' ^ . 8*=. _ = —^ -, rr— / — àP<^» — i" -»- , / ; on I ' ^ • Dans le cas de J/'=ro , on a fes deux dernières équations donnent , en intégrant , s = y , SJn ; 3' ? :. ^ — -1- — ^ . cos 11 — «■ ' : '/ est la tangente de l'inclinaison lunaire , 6 la longitude du nœud ascen- dant de l'orbite, e l'excentricité, et -zf la longitude du périgée. Mais, par l'action du soleil, ie périgée et les nœuds sont en mouvement; en désignant alors par ( i — c)v ie mouvement direct du périgée, et par (g — 1 ) V le mouvement rétrograde des noeuds , les valeurs précédentes deviennent , , . ; j A 1 i-H )- >'H y' -t- e . cm 1er — 3- I \ 4 64 ijô / -. = ' }■ ( ! > - H —>'■ ) cas , jfî- — 'il • — >= I 4 \ 4 ■-* / " I f > - ( 1 — ->= ) cos 14^» — 4 5 '' >'.oos,Éri — ; \ V *4 V 4 / 5'^ Si l'on substitue la dernière valeur dans la première équation . on aura, pour la partie non périodique de -p- , SUR I.A THÉO Rit: DE I.A 1,0' NE. 323 A» I -^- - e' -h - y -t- - <:• >• -t- - y'i -^ — r- \ . L i 1 1 H 8 J Dans l'hypothèse elliptique, cette partie est cj^ale ka,' , ti, ctant le demi- l^rand axe de l'ellipse: ce qui donne, h = Vti r e' y' -^ e' y' — 7 '^ -^ 7 >" \ • \_ X z i K « J et pour la partie constante de «, « L 4 1 '^4 J la force perturbatrice altère cette quantité: si on désigne par — \f~^f ^' ^ ) les termes non périodiques qui naissent du développement de la deuxième équation différentielle, divisés par le coefficient de , on aura, en fai- sant— = ^( n-/-H/'£' ), -\ y' -\-e'' e' y' >-'' -<-<''-«- e' y'' — -t'- y' -i y * 4 M< e'' \ coi ( 1 g V — il) ) / • ( r + e' y'\ cos (4«-i/_4e, y'- . rxA[f,gv — /î^) '4 \ 4 / î'i au moyen de cette valeur et de celle de //, la partie non périodique de -j- devient ; et en y reunissant les termes représentes par qui résultent du développement de la première équation différentielle, on suppose — ^ :i- ( i — h/-(-/'V*), « étant connu par les observa- tions ; ce qui donne, après avoir intégré. 4 4 -^4 f.i, \ , H- ,'-+-,4 _ 1 2 ■) t . <.o(, { cv — '^ ) 1 4 .= (,-:.= ' 4-^^ + - .28 • y^ — — t' 4 y' -*- 3-2 4 et «/ -t- 6 = ;» -1- yW = y ") = „(.») = MEMOIRE I = » ''' f. sra ( f v — 'sr ] V <"' < ' sm ( 2 c v — 2 "sr ) x ''' >•' sin (2^1 26) V M' < ' sin ( ; <: v — j 'O' ) v '"«>-' sin [cp — 2gv — -sr-t-iô yi'^ ty' sin (ci'-(-2^i' — 'Sr — 20 V "'«'?-' sin [icp — zgv — 2 'Sr -1 yW e' y' sin (2irv-t-2^v — 2'îr- v "> f * sin ( 4 £■ f — V '=>■ j r<'°)>'''sin (4^" — 46) y(")('^» shi (jrr — 2^1/ — jir- [/('■)<'>•■ sin (3f>'-+-2^'' — jw- y ('"«>-* sin {4jg'i' — CI' — 4B-t-'œ vC*' «>•* sin ( 4^ »■ -I- f v — 48 — ■js >■ ''5' «' sin ( y fv — s -ar ) 2 — f' y' e' -\ ('>'-}--'>' hc \ 244 V- ) na'- I 7 5 27 \ 4A ,\ ■iH<^—-gi \ ^ 4 / I 1 H f >- I ; 4_A ( c + 2 ^ ) \ 2 4 / Î2 A t \ 2 2 / ^ihg \ 2 2 y ^9) ■^e; y n d * SUR LA THEORJE DE LA LUNE. 325 SA{ic-^zg) (■!) — 1 5 n <3' 64./,{4g — c) (i4) _ — 1 ï 77 d ^ 64h{^g-^c) (M) ^ ^ n a* 40 . A r e étant une arbitraire. Relativement au soleil , on a , en égalant a l'unité les quantités qui en différent extrêmement peu , et observant que y' z:z:o, n'( + {' c= v' — jf sin {c f' — ir') + - e 'siii(:r v' — i ts' ) e' ^ sin ( ^ c' p' — ^■ir'); 4 î I a' = — p Fiv,-!- f" ■+- ( \ +e" ) t' . cos (f'i'' — '"'')] . a L'origine du temps' étant arbitraire, on peut supposer i et e' nuls; alors, par la comparaison de ii t et de « /, on parviendra à exprimer en fonctions de v les diverses fonctions de v' et u' qui entrent dans les termes des équations différentielles développées : on trouve ainsi, en fai- n ' sant nzOT, n / 1 \ 5 , .5 1'' =m I ;r + > •f'j de là on forme les développemens suivans, où il n'y aura plus qu'à substituer la valeur de ^ : ^'=jr'== ] +-<•'' -(- ( 2 H '■'") ( ' — - m' q.' \ e' .zo%[c' mv — 'îir') H t" . cos (1 c' mv — z in' ) H e' ' . cos (jr'mi/ — S'W'') - ^ 4 — " 1 -H — f'^ I m $1 f' sin [c'mi' — -73') — 'i m

. cos 12 1' — 2 1'' — ( 4 -+- - — '■" j '"fie' sin (c' mi' — -sr' ) — \^m fe" sin ( 2 f' mi/ — m

■ — ; m i- — 5 r ' m i' -e 5 lîr J . cos(2i' — îv')=( 1 — -f'M (1 — im'ip^) cos (iv — 2mv) + j t' cos (2;' — z m V — f'mi' + 'ffl-') — c ' cos (21' — 1 mv + c' mv — -ar ' ) H ^f'=.cos(2i' — imv — z c' mv -\- 1 '7S ) cos ( , ^ j , — if " ] sin (21/ — 2 mii) + ^mipe' sm[zti — imy — r'mi'-t-'sr' ) — m?î«'sin(2i' — j. m f -t- C m I' — 'nr ] -+- 26 m ipf " sin ( 2 I' — 2 ml' — z c' mv -\- 1 iir' ) „ r') = ( 1 _f-_f'»] [ I m=?!')cos(i' — mi') + -if'cosi'>' — mv — c' mv + if') -t--f' cos(i' — mv + c' mv — ot ' ) + — f" . cos(i/ — mi z c' mv -^ l'a') 2 o î ., cos (î^ — mv -\- z c' m V — 2^23' o-.(. -.;.-) ma sin [v — mu] ^ m ip e' sin {v — m i> — c' m v -i-'sy' ] m œ e" sm [v — mv — zc'mv-h 2 ■ar' ) m

'— jr) = ( 1 — — '"] ( ' m--ip'] cos(;v— imi/) f' cos ( j r — j m f - - f ' m V -\- fsr ? e'cos(3y — ^ m V -^- c' m V — «ar') 2 ro; -^- f " . cos (51 ; m >■ — z c' mv-h Z1 8 -^- L e" cos (31' — ;mi'-t-2c'mv — z /sr' ) o _l- } ( I —, — t" \ m

' — 5 "") SUR LA THÉORIt DE LA LUNE. 329 -)- 1 8 m

- h - " " I / sin i v' ) H cos (if — ! i/M ih' \ df jj ai %h' u" ' ' ' ' < % m' I d' u \ f u"' dv — — y- " \ I 5'n ( ! i' — i a' ) 4^= \ dv' IJ «•' \^ m' u' ^ du — sin ( 5 I' — j a ' ) 8 A ' a i dv ^ m' u' ' r) m' u' ^ _ ^ m' u' '< d J^ u ; d" u — j^ u . cos (2 a — 2 a') — . sin (2a — 2 a') 2 /l'a" 2/i=a'< ' ' ih'u" dv ' 6 m' u"< d u M m' I d' u \ fu'^dv ; —-du sin (2a — 2 a') -t- ( H a I / / a sin ( 2 a — i a' ) h' u'' dv h' \ dv' jJ u ' I , SiU'am éirangert. T t ^^'^ MEMOIRE 3 "" " sin { IV — 1 v' ) -+■ — T—— » « ' g m h'' du .h= ii> Su' . COS ( 2 I' 2 f ' ) : A = H ■* dv Su sin ( I f — iv' ) <) m' I d' u \ ru" dv \- u \ I ; /' U • A' \dv' iJ u'' \ Vt' U ' sin [zv — 2 r') H ; / V sin ( 2 i' — ly') h' u ' u'i du ^ , , 6m' I d'- u \ ru'^dv . , , S-v' . cos(2V — 2 1/') H — -)-« / — /■!''. COS (2 v — 21/') h' \ dv' iJ u * h' u'' dv '9 — \z s')m' u' 15(1 — ^s'^m' u'" du / u . COS { >' — V ' ) [ 1 — \s')m' u"' diu ûr\{v — v' ) Ih'u'' Su sin [v — V ) ^ijuLiiUL^u] r 4^' \ dv' IJ 4*= \ dv' IJ u"> (\ — \s')dv ;/'"*( I — ^s' )dv 8A'«î Su sin l V — V' siu [v — v' ) dv i ) m' 11'^ 1; m' u' " d S u Su . coii^v—^V) -, ,, , • sin ( 3 î' — î "' z/i'u^ Ik'u^ •u'i du 75' m' I d' u \ r u'^ dv ■S'ti iin ( ; I' — 3 v')-{ ; (— h u) I Suiinl ; f — ;v' \k'u' dv ^' ' ' 4h' \dv' IJ «' ,^m'/d'Su \ ru"-dv { o—,is']m'u'^ — i- S II ] I sinl !!/ — î J/ ) -\ d u' .coi(v — v') 4/,= \ dv' iJu^ w ) / ,^,^^ jm' / d'u \ /-u"'{,~4s')dv . \- u \ 1 sin (v — V' ) h' \ dv' IJ «5 ' ' ;;«'«"{ .—4s= ) du , , . , ,, ijm'a'' — du' Sin [v — v' ] -\ ; — du. COS ( 3 V i V ) 1 h' u'> d V 2 h' u' d'u dv' I )• m ' H ' 5 du z h' u'' dv 1 ; »; ' I d' u \ f u' ' dv (9 — \z s')m' u'^ Su' sin ( 3 v — 3 1/ ' ) -H 4A= \ (/i/' / y u- l^/r t/^ l/'. ces ( f — v' ] S v'. sin ( V — V' m' u' '' ( : — 4*^) '^" 45m' a'" S i''. COS ( f — f' ) H / v'. sin ( ; 1/ — : i/' ) 4j m' I d' u \ r u'^ dv -\- u \ I S v'. COS ,' ; 1' — il'') 4/i' ^ dv' jj a' yi i I v'. COS {31' j V tiid'u \ r "'''î \^ m' u'^ d u ^m'u'^s d^ v' . COS { 5 j' — 3 '' ' ) — (?^ ■S* COS [V — u' h'u^ ^y m' u' ^ s du sin [v — u' ) -+- . d^ i $m \v^^v' h^ u"» d V J w ' « ' ^ ^« SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 9'"'"'" 331 h'- u^ 6 m' u' ' d J u 3° du d' u h' u-^ ' ) I ) m' 11' > d u h',,'- dv m' I d' u \ f~ u"' dv ( •— -t- " 1 / '^'"° s'° ( - " — -I'') \ dv- jj u'- ' Il m' l J' Jn \ r u'' dv —, ; V à u I J liiXnizv — 1 v' ) h' \ ,//■= I J u^ ' J' II' sin ( I 1;^ î r' 9 m' u' ^ h = U-* i 2 m ' u' ' J u /' I' sin fil du dJ'U h'u'' J V ' COS {1 V 2 1/') h'u-' di> J u J î'' COS [z V 2 V ' 6 m' ~T' 24m' / d'- 11 \ f"u'''dv h' \ du' jJ «5 * ' m' I d' S^ u \ ru'^dv \- J^ u ] I t/^l''. COS ( 2 V 2 l>' ] h' \ du' J J u" ^ ' m' I d'il \ r- u'^du h' \ du' I J u-- ' ^ ■n I d' J u \ r u"dv "" \ du' "^ " I J V" J u' sin (z V — z u' ) dm' I d' u \ f^ II"' du H ; 1 —; -+-")/ J u'. sin {u — I'') -$m' u' d'-/' Il 1 du' /' u'. COS 4 h 'II' ■/ ^ m' II' ^ d S u )f ■S'' «'M'— 4^') ii< m u J" u sin ( ;' — c' ) du f.li'11' dv_ J' u' sin ( ^u — i W ) Ih'u' /' « sin (je — ) ''' ) iz^m' I d' u \ f u'^dv ~-T^[l7^-^")J -—-J^u'si.i^u-,!') ■j$m' I d' J u \ /" ""' '^'' -t- ; I -\~ S II \ t Z' a sin (; )' — 5 »'' ) i, h' \ du' jJ u' Te Si"- MÉMOIRE / li / i" . COS ' V — v' ) \- U \ I ; du f V . COS ( 5 V 11»') m' I d' Il \ f u'^ dv i' \ dv' I J u' 6o m' h' iom' ( J' H dv d' ,3 h^ \ dv \ $ m' u* ^ ■)/ u'î dv s u' sin { z V — IV*) J'u- f m' u' ' — z;^ — ^ ^ m' u' ^ d s \ % m' u' ^ d ^ u /■ u'. COS 1 z V — z v' ] • • Au' sin I i y — z v' '' * ' h=u' dv ^o m' u' ^ du dv h' u'' tp' u'. sin ( zv — z v' ) z/t'u* dv 6 m' u' ^ s sin ( ; r m w ' i :/,• u'i ^ m ' u' ' s z h'u" COS (zv — zv' ) 2 V 6 m' u' ^ i i m' / d' i \ f u'' dv sin , zv—zv' h' u^ - -- „ - 6 m' u' ^ d s / « — — ^ «y* u COS ( 2 ;< — z V ) H /' « sin ( 2 f — i f' ) A' If* f~ u '^ dv h' u'' dv ^ m' u' ' . \ z m' f d' i \ /' u ^ dv ( h J I / J u ûa ( z V — 2 v' ] A' \dv' JJ u^ * ' ?m'«'' ^ m' u' ^ d J^ S _ — J^ s . ces {2 1/ — il'' ) — sin ( 2 V — z v' ] ih' u .h'u^ )m' I d'J^s \ f u'/ — z v' ) 6 m' u' ^ 6 m' u' "^ 6 m' u' ^ d J^ s &ud's ^ Su J i. COS [zv — 2 1/' ) H /k sin ( I !• — z v' ) h'u'' h'u-' \zm' / d' / s \ /~u'^ dv l~, h/j) / Juiiai: h' \ dv' jJ «' h' u^ dv m ' i h' u- ^^ m' u' * i l m' u'^ d s ih'ui dv sin (> — v' ) SURLATHEORIEDELALUNE. J33 =: 1 / . sm ( 2 V — L v') -\ / 5m ' V — y ) 4v ku' ihu,' J «" %hur- J «s t K / sin ( 2 f — 2 1^') / /' u sin ( 2 f — zv'] h'-u^ J u^ h^W J H' ; m ' r u' ^ dv , 9m' r u' ' d V ^ / (Pu', cos { 1 V — 2.V ] -\- / i/> a sin f 2 !< — 1 v ) S h' u' J a ' 8 A ' « " .y ri" ■tm'J^u f u '' [ \ — \i''\dv , \$m'J'u /"u'^df — 1 / _i- ! àn{v — v') / sm 3 v— 'yv') J m' r u'''[\ —\^^)dv 1 c/M' . COS I V V ) ih^u' J a ' 4 ,- m ' f u' ■'' dv / ir v' . cos ( ; r — î " ' ) 1 — i!^i^ ) d If / u' . sin ( r — v' ) ^ ^'"' f"" "*" ih^u' J icm' /^u''dv ^ z-j m" r /^ u'' dv "] ' H '- / J-'u' .iin{ ; f— ji-' -H / smCi;-— 2 ;' ) am'J^u- /~u'''dv izm'J^u ru'^dv „ . , -H Z / sm ( 2 r — 2 1'') H / S^ u%va.{xv — 1 v' ) 2 Ai;/-' J u" n'u' J «' \im' r u'^ dv ùm' f- u r ti'i dv H . / — /«» .sin{ 2 .'— 2 I'' ) -^1 / -— Sv cos( 2 i-— 2y' ) Aî u'- J u'- h' u^ J u" Il m' /" u'i dv ^ ., 9™. r ""'''' r, '■ , ,1 H / /■ u tfv cos( IV — iv'i J^ u / , ■■^m' fJ. { H' u \ r " \' — \i']dv — cos ( !■ — !' ' ' 4A=«'> -^m' IJ. I d' u \ /- Il ^ I —:is']dv -! — h« / im{v- ^ - ï 1 . sin I ;■ — r' ) — —^ cos ( ! (.■ — î l' ' 4/1=,,' Jv ^h'ii' i< m' /J.u''' du — i"') -1 TZ7~, ^^'"(3' — )'■') 4 A ' K ' dv ■;-'). i< m' u. I d' u \ r u'^dv ^h' \ dv' I J «î dt et dans 1 équation en — , itn' u /- H'^,/r , 1 — 45») . , , 15»/'^ r u'*df . l — I i sm ; !• — /■ ) / sin ( ^h' u' J K ' /^hi u' J ti"- On voit que, pour avoir égard à ces termes, il suffit de multi- plier par I — 2 /x- tous les termes de ces équations, qui contiennent les angles v — f ' et 3 v — 3 r . Les développemens des divers termes qu'on vient de considérer . , I t r • m' u' ' m' u'^ , / > dépendent de ceux des fonctions -jr^r- , -j7^ cos ( 2 v — ^v } , '"' "' cos ( V — v') &c. , dans lesquelles i désigne l'exposant de u : en développant ces fonctions par rapport à l'ellipse mobile, il est facile, à l'aide de quelques valeurs elliptiques, d'en conclure d'abord les dévelop- pemens des termes indépendans des parties des variables dues à la force perturbatrice; et la forme de ces développemens indiquant celle que doivent prendre les séries de coefficiens indéterminés, qui expriment ces altérations, on parvient ensuite au développement de tous les autres termes. Ainsi, les valeurs de u , u' , s, v' , déterminées précédemment dans l'hypothèse elliptique, étant substituées dans ces fonctions, on aura successivement. ' h'W Xi '■' e cos ((.:' — ■ar SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. Xi i'> e^ . COS (z Cl ; OT ) Xj ")^' . COS { 1. gl> I J ) JT; <*'<;'. cos ( 3 r; j ^ ) *i '5>^ . cos (4^>/-|-fy_49_^ I *i ''5'fî . cos ( y fl/ J,J3-) *•;'"''«' .ces (c' m f — -isr' ) a;; ('"(■'= .cos [zc' m i> — 2 -ct ' ) •Tj ''*' f 1;' . cos (ci/ — c' mi' — ts- -hiir' ^ Xi^'-I ee' . cos [cu-i-c' mu — iir — ot') Xj <"> f^«' . cos {z Cl c' mu — 2'ZB--f-'ar') Xi^"> e' e' . cos ( 2 <:r -|- f' ot j 2 ot — ot' ) •ï; <■''' ee" . cos (<;/ — 1 c' m v — 'm -\- -. rcs') Xi <=î'.».cos (21/ — 2mi'H-(ri' — i^i' — '0--t-26) j. . (49) , j, ' cos (21' — 1 mv — cv — zgi)-\-iar-i-z^) X; ^^'^ ey' .cos { z y — zm:'-{-cy~hzgv — 'ET — zQ] JT; *^'' tf' e' .cos (2^/ — 2»/»/ — zcy-hc'mf-i-z^sr — 'Sr') *,- (*'* tf' f ' . cos (21' — 1 m V -i- z cv — c' mv — 2'Br-|-«cr') a^j (S3) f ' ^' cos {2r — 2mr — zcv — c' m v -^ z ns -^-fzir' ) xj ts4) ^» ^/ cos [ 2 I' — z m V -^ z c V -^ c' m V — z •" cos {2)' — zmv-\-zgv — c'mv — 2fl-+-'Sr') i-.Cï7)^'j,3 cos (2;' — zmv — ~gv — f ' m r -+- 2 -H /ar' J Xj (î8) f / ^a .cos ( 2 r — z-mv-^zgv-^c'mv — 2 9 — 'Sr') ■2£''mi'-H'Sr-l-2'!!r') - 2 £•' m r — 'HT -1- 2 «ar ' ^ 2 c ' m i' -H 'Sr — 2 'Sr ' ) z c* m V — for — z fBr' ) ■+- zgv-\- z là — 26) — z gv — ■2<ûr-+-2 6) X; '*'' <* J-'.COS [ZV zmv zcv ZgV-\-z'B!-\-Z^] X; C' t" ^'.COS (21' 2mV-\-ZCV-t-ZgV 2'S> 28) Xj (*" <* cos {iv — zmv — ^ c V -h 4 'sr ] X; '"' <* .COS {z V 2mv-|-4fl' — 4"^) jtj ("''«';'* cos [zv — zmv — ^cv-t-zgv-h^^iir — ifl) AT; ''"' <';-°.cos { z V — imv-l-jff — zgv — 3'ar-(-29) jrj("'<'«' cos ( 2 r — 2 m 1; — j ,," cos zv — zmv -^ c V -\- X C-iî),';,' . cos {zv — X mv — zcv X (M),.^. . cos (zv — zmv-\-zcv ; ts - z m V -\ ~ 1 m V On multiplie par ffi' w ■^ cas (r — y' ) = Z; t"^' x- t'îJfîf' cos {zv — z m y X; t?4) ^3 e'.cos ( 2 V- *iï'ïJf'f'^COS { 2V jr ; ï'^ ^ e' f ' * cos { z 1/ — z m u -^ z c u — z c' m v — z ^ -^ i w' ) I e'^ le* coefficiens non affectés de e\ ^ cv — c' m V -{- 3 cv-^c'mv — 3 ^ — 'Sr' -zcv — z c' m V -\~ z fsr -{- -zcv — z c' m V — z ^ ') 4 -M cos [v — m v) 2}' — e . cos (v — m V — i v -^ ^ ] SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 337 a a a' a z- (8s) — e- .cos [v — mi> — z cv -\~ i «îsr) a ' z.(80 e^.cos [v — 7nv-{-zcv — 2 rar ) a' a z\ t''' — y- cos [y — mv — i gv-\~ i ^) a ' a 2.(83) ^'^.cos (iv — imv-^igv — 29) » n' a 2j(39) g c' cos (y — wr — cv ~\-c' mv -\-mr — m') a' a zj (9») — ee' cos [v — mv-\-tv — l'mv — m-{-^') a' a z;^'^'' — ee' cos (v — mv — cv — c' m v -{ 'ar-h'Sr'} a' a 2.(92) — ee'.cos ((/ — mv -^ Cl' -^ c' mv — 'Sr — fsr' ) . a' On multiplie par i H- 2 ^'* les termes non affectés de £•'*. m' u' ^ il _, ,, cos(3»'— jr' ) = z;^"''^* __ cos ( 3^— 3^»/) a 2j(n>0 c.cos (31^ — ^ mv — c V -^ m) a' a 2. ('02) e.cos (3^ — -^ mv-^ cv — -sr) a' a zjC'oî) g' ces [ 3^ — 3ffîf — i'mï'-h'ZB"') d ' a z.('o-i) gi (.Qj ^ jy — j ,ni/-f-c' mj' — 'Sr') (ï ' a zj('05) — f» cos (3;' — ^mv — z cv -\- 1 »sr) a' a. 2.('t>6) ^3 ç,Q5 j ^ j^ — -^ mv ~\- 1 c V — 1 «ar 1 a ^jC"?) >*.cos (31' — 3ml' — 1 gv — î6J a' a 2,('o8: J'^.cos ('^v^^ -^ mv -\- 2 gv — 2 Ô) a' \ , Savans étrangers. Vv 338 MÉMOIRE a 2;(|»9) et' cos l;!/ — jmc — cv-yc'mv-^'is — 'Sr') a' a 2j(i"') e e' cos ( jv — 3»ic + f;' — c' mv — 'a -\-'!s' ) a' a z;''"' e e' cos { ]V — ^ mv — cv — c'mi'-t-'Sr-t-'Zir') a' a ' ZjC") — ee' cos (5 v — '^mv-\-cv-^c'mv — 'm — tu' ) a ' On multiplie par i — 6 e'"- les termes non affectés de ^ ' . En changeant x en j, et les facteurs i -H^^ '', i 7^^» ^'^ I H ^'*, I ^'', on exprime les développemens de m' II' ' m' u' ^ -— , — cos ( 2 i' — 2 r ' ) . a' a^ ^ h' u^ n'a' "* A ^ w ' Généralement .v se rapporte aux fonctions de u' \ y de u ' , et j de u *; tandis que i indique l'exposant de « des mêmes fonctions. Chaque angle conserve toujours le même numéro dans les divers termes où il se reproduit. De plus, en ajoutant 50, 70, 90, aux nombres qui désignent les angles en iv — zmv, on a respectivement les numéros des angles semblables en v — tiiv, 3 V — ^ niv, 4^ — 4 '" ^• Par une notation analogue on exprime, ainsi qu'il suit, les fonctions elliptiques qui entrent dans les termes des équations différentielles : a ( Hk ) =n(°' -t-a''' «. cos(fi' — t) -t- K -";-'. cos ( 2^1/ — 2 9) -H k ''°' >•■' . cos ( 4^1' — 4 9 ); \ '' / e sin { c u — -tt ) + 1^'^ y' . sm { 2. g i' — 2 g) -1- r»'"' j-"* . sin ( 4^1' — 4 9) ; ri i> ^= \ 2 / -^1 I — y= \ = sM + s'>^ y ' . cos { 1 g f — î ^ ] ; 3 h'" ijaC"' = «'■'' H ^ ;-■ . cos(2^>' — i ô)h >* .cos(4^r — 4 9); -, 3 Ag' — ' '(>g'— ' A' ( I H-s- ) — SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 33P (3) ,-r- 4g' I r K<'i i((3 u = — a ("' H — . e .cos{cp — w) ?- ' . cos ( 2 ^ 1' — z u (,0) •>•>. cos(4^i' — 4e),• = r;(°' -|-r;<''fCos(i:j/ — w ] + r;<^'f' . cos ( 2 0/ — 2^) -j-rjf'')-' . cos ( 2^1/ — 2J) -t- ri(-'V'.cos(3(ri/— 3T) + rjt"f>-=.cos(d'— 2^!/— •TH-29)-t-rj('-'f>-".cos(fi' + 2»v— T — 26) -(-i-j<"e = J- = cos(2(:i/ — 2^1' — 2T-4- 28) -4- >■/''' f'>-'. cos ( 2 c;' -(-2 0-1 — nr — 2Ô)-)-&c. Les coefficiens que suppose ia notation actuelle , ont pour valeurs , . /- , m' a'^ analytiques, en taisant — jr- = "•' • m'a r I I [ ' 5 1 h' \_ z 2 2 8 8 J m' a r î I j 4.51 *,(■) = ; — z — e'— — y' c'.^2.e'y'-^ — y'^ \, _ -i" L 2 4 4 5^ J x,W = -— ^ e'- — ^y'^~Ly'> + 2-e'y' ^- e" \. h' \_ z z 2 16 4 3- J îh^a Pli I 1 ç 3 j "1 X (î) = ;k'-t-- e=-t-^->-4 — -i-e=>.2^- JLf4 . /i' L 2 ^ i 3- 4 ■<; J »,(!) = x,w = — ^-H-|«= — ^-y \. h' \_ 4 8 lÊ J »,(')=*,("= \ ±—±y'^± e' \: /^^ L 4 8 8 J' x,(s> = —H e' -y' \, A= L 8 16 16 J < m'a îh' /i' L 4 s É4 J /« ^ il r î I ç "1 Vv 34o MEMOIRE m - ,! X M> = *3»' == xW =:- , «,(»' = L 4 î 11 J -^[f-^'-T-]' r,W= -2.-+- -A,. L;,= , ^^ L 8 8 j: J' h' L 64 >6 256 J '.("'= * ("'=: \% .m a 8/4 = .(■» = ^- L 4 '6 J '"'"fi 'j î 45 T A- L 2 2 8 4 J A= L 2 2 4 8 4 J -^[■-T'-f-]^ -■"■=-4^[-:~-f>-T"]^ ' L 8 4 4 J h ) m* ^ 8A' 's — A= L 2 4 4 8 (;4 J h' V \ •- 2 2 4 J SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 34' ^ m'ar ,; ; ,o; T A» L = ^ 8 J' "~/.'L4 ■<; ~^8^J' A= L 4 8 2 J' ' A' L 4 8 8 J 3 î ma . (1.)= V (■=) _ ^' 4^' m'ar il -| = __|_,4-_.= -_..J, -^[7-.4^--.4>'J- m'a r 6; -| Les valeurs de r,'"', r/'', r,*"', &c., sont égales aux valeurs correspon- Ji a h dantes de .v,. '°', .v, '"', .V;'"', &c. , multipliées par Au moyen des valeurs de x- '°', .v, '', x, ''', &c. , et de v^'\ v'", v''', 5i:c. , on trouve ensuite 342 MEMOIRE .('<) = '('-^1'")"'' — *;(») .(.S) _ .('?! = .('•) = / , -t- - f'M r - *i(') -t- - me Ciï, '■■' -+- - mvC A-l 1 ; ;(") = 2 ,,.(■) _ 1 mv(')*iW 4 9 4 2 i-:(0 -H 2 m„(0;f. M ,(=4) _ = ( , _ m',= i,C)> ) jf. (■)» 1 «.(") • .(îî) — J- ,;(!«: 1 ^ I 2 2 «;('" / 1 I \ 2 2 — I — m e^ 1/^5) — ( - — - m^f'!/!"' SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 343 wï e^ r' '' * ^, . (4°) - m e v^ ' X; ■m e' 1"'' Xi .(4î) :_ _ ;f.(4) Ï-W) ^ ,(4!) 111 \ I 4 8 / 4 ' — m r ' ' ' — — m' e- 1^'-''^ u'^-' \ x;'^^ 4 / '5 9 \ 3 4 8 ; 4 / 3 . 9 \ — I — m V '' ~+- — m' f' v'''^ t'^^^ 1 x;''^' \ î 4 / — H- //] e' u^'^ — — m' €'' f^-'^^ I *; '■' 4 8/4 I 1 \ 1 — m f- !'<'' — — m' e' v'-'^' 1 arp'' H m f' v'-''' x:^- 4 8/4 \i 4 / ^ - *;<■" — (;«»''•" — m Vk !'>»!") *;(») — I lmv'='— -m = v<''= j x,^'^ —- m v'^''> x;'-'> I 1 H mi-f'-'l x/" H me' I/O jr^''' ; ') *:!i' 344 1 ±mi,(î! ^ — me' yt^' )«;'"> -f- — w^-C MEMOIRE ,;(«) _ („„(')_m=,,(.)„(î!) ,.W _/..' „,„(î; _(-J_„,,' r<8' j«;('l — — ; '!> ,(5j; = ■("! = .(î«! — .(57) ^; ,;(S») = {t-^'")[7"°'-T-""""] ( 7 -^'"iiT-^"'-^! -''""'•'] -(T-Tr)[T""'-T-""""] 17 4 \ ^ 8 / 4 J — .V, — I — m v'-'' m'y'-' 1 ï, m v^'' Xj'-'' 1 ; U 8 i 4 J — Ai(=>-+- ( J-mvO-j-^m'i'ClM *;("!-(- — m I/O*/': | ; — A: ■' — I — mu'--' m-;' '■ 1 .ï, ' m^'-x-,-'' I ; - V i 8/4 J ,(«0; = _^ ,.(.) 17m v^ ' *i ,C«î) ,.(<4i = ,(«S! = -I mi/t'lATiO mrU'ïjW ; 2 2 - m v^ ' v^ ) 2 2 -'_ ,;(») _H (7nr(«' -+• m=r('>i/!" -1- m'i-Wi-'î)) *;(■» 2 2 • (-mi/<" -t-im'i.<'!».(>i j SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 345 ,ï;(«') = -!- jt;fc'> -+- I mv'" -+- — m'v'-''" I ,r, "> "*" ( — «'•'''" "+- — w'i''''f<" )*;''• -t- ( — mv'-'^ H m'p'''' ) A,'') -1- — mi/C'A-iM' ; .,..(«- = _!_ .ï^lv) _ I ,„^(,) L ,n',,i')'- I .v.M — ( — mv'"'' m'v^'lv'-'^ \ x;'-'' — ( — «!■(=) '- m'v'-''"- 1 A-/'' '- mi/Oi-;») ; »•;<«»' = — a:/'" + ( mi/"" -+- m'kOi/!-' -h m=r'=>i'<" — m'vO)y(4) ) ^f^ (o) H- I — mv""' m' v^'' 11^^'' I Xi'-'' -t- 1 — /nfl^' -( m= >/('' 1/!=' ] *;"' / 1 . \ I I -H I — /«»'l=l H m'v'-'''- 1 A'i*'* mv(!'ïi<''> H oti^Oa-/'' ; V î 4 y z î 2 — ( — OTi'fl m'i'C'j't!) -1- — ;n»i/(='Kiî) ] .Vi<'l — ( — mv'-" m-v'--'' 1 A-;''' H «;'(î'.ïiM> (r ' / ' ' \ '! X \ - A-;'*' -H - mv'^'-\ m'f'-'h'''' 1 x-,(°^ - ''^ ' 1 / ' ,, , \ 1 -h 1 — m u^ - -^ m' v^'' \ y \ 4 '6 / l V 4 ■''' / 4 / V \ - *:*"'+ ( - «fW-l- - M'l/l"l'W I A-;'"' A,tn) = (L — L!L,'--\ ; ^ \ ^ 4 / \ - '6 y ) / 5 n \ ; h ■\- \ — mv'-"~\ — ct'j/O» I A-:<"'-t- — ?«!/(" AT, <"' V V 4 ,6 y 4 I . Savatn éiraiigm. X X ^(.)j.,(7) 4 346 MEMOIRE ( V 4 '<> I 4 ) v.W -^ ( lyfflvC) _H I7w;'v(''' ) *;("> -I ^ '«>''" *;' = _- ijW — ( lymi/W — xjm'vi-'l' ) .v; «>' — ,(8o) = [ 4 ^. 4 C;<'5' = (8 (87) ;= .(88) _ ,15») = .(.oo) _ m ;' >'<'>*;W ; I h - w f' >''•'' ) .ïi<'' •+ I ' ' \ I — — m i^ V - I r; \ ^ 4 / ( ; H- — (■■■" I ( 1 — œ' £=(/<■)» ) ,;(") ; (,.±,.).,., z \^ • 8 y \4 4 / . \'- 8 ;/ \4 4 / 4 j C — ( — m f ' I' >'' m c r ' ' 1 AT, ' ' ; \ 4 4 / ■>'-+- i — me'v^'" -me'v'-''^ \ .v, " , \ 4 4 / ^ j ^ IL ,'= \ r (-L _H — mf-f'" ] Xi(')_Hm^fl*ii°> ^ m f' ;<(■)*;(?' 1 . 2 1 SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 347 I — -H — me'r"' | x,^" -t- '- mv^'> *;(°-' '- m e' v^'> x^'' ; V - 4 / - 4 = ( m e' D^^' I X,'-'' «»■< \ 2 4 / 3 • m f c-"' * ;o,,(4) ï;('^5' = -*:'"-;-(- m 1' = -I — m'i'"' I x,"''-t- l-mi.'''>-\ — mc'v'-'*'- | i'/'' — \2 8 / \.\ 4 / i;''"" =-.v;<" — ( - m ;■'- m' v"'' \ v, — ( - m p'-' -+ - m e' f*'' 1 jt:''' H — m f' f <'> *;<'" ; \^ S / \4 4 / 4 ; — 22?'- ) ( me'p'" \ ,ï,'' — 2 m !/i'> .r;'°' + m e' >-('' Xi<" ; — 22C'-') 1 H me' f ^^ ) -v/' -+- 2 m i'(') ;f.(°! — me'yf^ *;(=) ; ;;;■'=)=: ( I -1 — ^^^' ^'' ) ( mf-f'" ) *;('• — mvC'.ïi'"' H m i- v\' a,'" Les valeurs de ^^ sont les mêmes que celles de x, pour les mêmes angles, dans les termes qui ne contiennent pas e' \ k l'égard des termes qui en sont affectés , on a j^,c«i = z ïj(«> ( ' -t- Y '" ) I î- l î- 2 j,ii'8i = ([-+- — f'^llfi ^ mf^- e'- I .1,"- — mx'C'.til"' H- — m e= i/C *;<•> ; yi<": = ( I -)---«■" ) ( 1 -1- — mc'v^'l ] *i''> -h mi/C^iiW !- mf=i/!')*jW ; ■y.W = _ j-jW ; 1^4 / ^ 4 ,(401 _ ( J 1. me' v'-'l I *i(" ^ mi-^': i,<"' H- — m f» r<'> *)<"' ; \ 2 4 / ^ 4 XX* 34^ MÉMOIRE >■;'■"' = {—-+- — me'i/W ) ^..(0 ^_ 1. m„(.);f j») _ 2. m e' i \ - 4 I 2 4 ^i<*" = — \ me'f'" I A-/" -+- — mt^C'*;;"! L „ \ - 4 / 2 4 Enfin l'on a, relativement aux quantités elliptiques, ,,, I 13 4 4 64 «>■' = ( I — f" ) 1 , -)- f' -,- (.4 L ,= ;,= \ ""' = (4^' — ' ) (—-+-- f= ^ >= ^ ; ''"°' = \ 4 4 i' >• = . cos { i g" — 29) A<-*> «î . cos ( 3 Cl' — 3 'sr) ^ (!) O ' . cos {cv — igy — 'ffl- -4- 2 5 ) A'-'l ey' . cos {ci>-hzgv — «sr — jj) Ai-^> c'y' . cos {2 cv — igy — 2^_i_jj) A^'^'> c'y' . cos {zcf-h^gv — a^ — :9) SUR LA THEORIE DE I.A LUNE. >J (•'> t^ . cos { 4 c v — 4 'Sr ) /<('°>>-* . cos (4^1/ — 49) ^("' «î J-' . COS (3c 1' ^ gl' i'Œ''-l-i8) /4<'" e' . COS (c' mv — is' ) jlt^n) f' i ^ CQS ( 2 i-' m r — 2 -sr ' ) ^['8) ^ ^/ . COS (ce — f' mv — 'Sr-H'Sr' ) A^'-^ e e' . COS (cr-Hr' mi/ — 'ZEt — 'Zïr' ) W'"' e' e' . COS (2c 1' — c' m V — i iir -^ ra ' ) /H'-') e' e' . ces [z cv -\-c' mv — î'Sr — ■ar') A'-"'' e e ' . COS (ci' — 2 c' m v — «tir-f-îW) ^ (3 3) f f ' î . COS { c V -{- 1 c' m V ^ Z fB7' ) ji l»4) e' y'^ . COS [z gv — c' mv — zJ-H'Sr') /l('îl !!'>-=. COS (2g'i'-l-f'"'i ^9 — mr' ) ^('°' . COS [zv — z mv) .4 ^' '' e ' .COS {z V — z m i 3 c r -t- 3 •ar ) ^ 1-47) ^ j, I ^ COS ( 2 ;' — zmv — cv-{~zgv~\-'Br — 2 g ) 4(4S)jj,z COS (2c — z m V -^ i i z gv — 'ar-l-26) A t-*'' ey' . COS ( 2 1' — 2 m I f t 2 ^ 1' -H «sr -H 2 9 ) .-( '"' " e 5- ' . COS (z V — z mv -^ c V -i- z gv — is — 2 G ) _4 i^ ' ) ^ ^ e' , COS { 2 y — zmv — z c v -^ c ' m v -'r- z ^ — '3r ' ) ,4 (m f = f ' , COS ( 2 «' — 2 m 1' -H 2 c 1 c' m I z 'Hr -+■ la ' ) A"'>'' e'- e' COS ( 2 i' — zmi zcv — c' m i' -+- 2 ot -H 'Sr' ) 4 Cs4j ^ i ^ ' COS (21' — z m V -^- z c V -\- c' mv — 2'Sr — -ar') A'.^'i'i e' y'^ .COS ( z V — zmv — z gv -\-c' mv -^- z !i — mr') 4(5«)e';,> ces ( 2 I' — zmv-i^zgv — c' m v — z^-i-'Sr') ^(î7)(';.» COS ( 2 1' — zmv — zgv — c' m j/-t-2 6 -V-'OT' ) _4(î8) ^^ ^ï COS ( 2 I' — zmv- A t^'' e e'^ . COS ( z v — zmv A ''"' ee" . COS { z v — zmv : gv -\- c' m V — 28 — 'ar') c V — 2c'mi'-H'ar-H2'ar'J c V — z c' m V — -ar -+- 2 «ar ' ) A'''"'' e e" . COS (2^ — 2 ml' — ci'-H2c'mi'H-'ar — iW] ,;4 C'î) e = ;- ' . COS ( z V — z mv — zcv + zgv-^-zis — 26) 3-50 MÉMOIRE ^((i) t'y' . cos {zv— imv-^ icv — 2^c— i-ar-t-iO) ^(-' .cos {zv — imv — icv—zgv-^itir-^ii) ^ (''>«•*. cos {iv — imr — 4ri'-r-4'^) /4("'e'<'.cos (îy— 2CT>'— 3C«' — c' mv-^- ^-sr -i-'ur' ) A'.-'-iW e" cos (zi/— imi' — îf — ic' mv-i-i'Hr-^ zi a ^(8») __ . COS (v — mv) a /i , y4(8') f.cos (f — mu — fi' + 'ZJ', /llf» — ^ f.cos (k — mv-^-cv ■ET) /j;8î; __ ,' cos {v — mv — f' m i- -+- 'ZB- ) a ^C-» — ^ e'.cos (>< — mv-\-c mv — "ar ) ^,•8 ( ^ . COS (r — m y — z eu -^ l 'u ! a ^(8?) __ fc' COS (v — mv — cv -^c' mv -^ts — 'sr') ^W») __ ff' COS (i- — mv-\-cv — c' mv — -ar -+- <»• ) a A (» 'i ce' cos [v — mv — cv — r ' m i- -h •îr -\-^ ' ) d ' /J(»') -^ et' cos (v — m 1/ -I- f r -(- f ' m f — ir— "ar') (2 ^('»»i __ COS ( 5 r — 3 w ) ^(' = __ f cos (31 ) m !' — ri' -I- 'îz' ) a .•JC'î! f ^ (/ — 5 m 1/ — (" ' m V A^"^'. —y e e' cos ( 5 v — 5 mi cv -^c' mv . a y4('"') COS {4r — 4mi') 4(iiO(.cos (4>' — 4ml' — ff-l-'sr) A'-'"'' e.co% (4^ — ^mv-^cv — vs) y4('?5)^' COS (4v — 4'«i' — f'fflv-H'Br') ^ (ij4).^ ' cos j^v -^'4 m >/ -+- f ' m 1 '^') y4<"5'«'.cos (41' — 4mi' — 2c:'H-2'sr) -+- /s- — «sr' 1 SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. /4<""?-".cos (4a — 47«i' — î^i^-t- 2 9) j4 ('=9) te' .cos ( 4 V — 4 m f — £■ 1/ -t- c' m 1' -H -25- — /sr A^''''>ee' cos (41' — ^mv — cv — c ' m 1/ -i- is -i- m • ] -4'''î'fî cos (4 y — 4 m»/ — 3 rr-H ; -zr) ■^'''" <■?-'. cos (4 f — 4m y — f ,. — 2^^>/ -(-■ar -H I 9) '^i' '1 e' e' cos (41- — 4mj' — 1 c v -^ c' mv -\- z'Tir — ot' ^IMJ) ^2 ,, ^Q5 j ^ j, ^ ^^^ ^ ^ _ ^^ f' OT I' -t- 2 ^ -H -w ' ^''"'«•".cos (4r — 4m!' — 4t l'-H 4'îS- ) .sin (2v — zm!'-\-gt' — 6) fi ■''<;-. sin (ci/ — ^ 1/ — ,j!r _|- 9 ) ■9'" c;- . sin (ci' -4-0- y — ^ — g j fi''"?^ . sin( 2 1'— 2 mi'— e' y . sin (^ j/ + <-'/« i' — 9 — :sy' ) B'-'"^ e' y sin ( 2 f — 2 in i/ — jri/_|_i:' ,„ v - B^"^e'y.sin [zv — imv — gv — c'mv- i'(!!) e- y sin [iv — 2 mv-^rgv — c' m v - B'-'^l e' y.ûn {iv — 2 OT 1/ -i-^i/-H c' m 1/- /?<"*' ;^5. sin (j^f — ; 9) B^'^'> y'.sin ( 2 11 — 2 mi' — j^,/_^- ^ g ) B'-'''1 e' y sin (21;! n-i/ — 2'3r-+-g) B^'^le'y sin (2ci/+^r,, — 2 .ar — 9) B'-"» t' y sin ( 2 c — 21111' — 2ci/H-^i'-h S'"' c^ >- siu ( 2 1' — 2 111 1' -t- 2 f II — gu — . ^ -1- g) B'-'-''! e' y sin (21' — iinii — 1 cv — g v -i- z 'a -\- ^ ] B^'il e" y sin (21/ — 2 111 1/ — »■ n -H 2 c ' 111 1- -)- 9 — 2 -ar' > 5(M) «' = j-.sin (21' — 2 1111' — gu — 2 <-' iiii'-4-9H- 2 /ar' 1 fi <"' f " )- . sin ( ^ !■ — z c' mv — 9 -1- 2 -ar ' ) fi('*' e";-. sin (gv-k-i c' mv — 9 — nar') 351 S — ■ar ' 1 H- -ar ' ; e + 'ar' ) 9 — -.srn (j/ — m v — ^ î) B'-^'l — y sin (;' — 1 r" — 0) •ar ' fi"'' ^. sin (41' — .\mv — gv-^-ris) B^^''> ey . sin (41' — 4 m i' — ci> — gv-^rs! B^i''' ee' y sin {gv — ci c' mv — jH-'ar 5(î4) fj' j,.sin [gv — ciz + c' mi/ — 9 -H^> e' e' y.sia [xcv — gv — c' m v — % ta -^ % -k- la ' ] 5138) ,3 <' j,.sin j j ,-^ — gv -hc' m y — 2 -ar -I- 9 — «ar' ) fi""f<'^> sin [gv — cf -t- z c' mu — ô -t- -sr — i-ar') g (40) (f'=>. sin {gv — cy — 1 c' m y — 6H-'S''-t-2'ar'). La forme des termes dcpendans des angles qui renferment 4 '' — ^/«f , est aussi immédiatement indiquée, lorsqu'on a égard à ces angles dans le développement de Q ; mais leurs coefficiens qui y sont alors affectés de ( — 7 ) , donnent des résultats à peu près nuls : les inégalités de cette forme ne peuvent donc être sensibles que par les termes de l'ordre du carré de la force perturbatrice, qui se reproduisent avec les mêmes ar- gumens, La variation J^v' de v' est à très-peu près ?/;£^ («^-t-ê) [ I -H 2 ^' cos [c mv — -zr ')-)- — ^' - ,cos( 2 (-'/«!'■ — 2-2?-')] ; ce qui donne, en n'ayant égard qu'aux inégalités de la longitude moyenne qui peuvent infîuer sur les résultats, et dont les coefficiens sont repré- sentés par C"°' , C"''^&c. , comme on le verra dans le n." 8, /,.' = m [C(î>"-+-<"C(îî>-t-f" <::"'»>] sin {lu — imp) me[C»'''-he" Ct»' -(- *'^ C""' ] sin ( 2 y — 2 m -+- C<'°' ]sin { 2 v — 1 mv — c' m v-^-ta-' ) m e' [ C'" ■+- C""' ] sin [ z v — 2 w r -t- c' m c — -ar' ) m e' C'î" sin (2c — 2 ml' — i cv -^ z m) m e' ce'' sin ( 2 c — ; m )■ -I- 2 ri/ — 2 ^ ) „ j, " C(j7) sin [iv — z mv — 2 ^ r h- 2 6 ) wi >• = ce" sin {iv — z m V -h 1 gv — 26) m f «' [ C'* -H C'î"' ] sin (zv — z m v — f j' -H- i ' w r -H "Sr — la'] me e' [C^'*"'' -i-C'-^'^] sin {zv — zmv-i-ci' — c' m v — ■ar-t-'ar') »i f f' [ C'*'' -H C""'' J sin (21» — 2»!) cv — f ' m 1/ -H «ar -H «ar ' ) m f f ' [ — z c' m v -t- 1 m' ) m e" \ C"*'' H C'^'' I sin [zv — z m v -\- z c' m v — zta' ) m ey' CM" sin ( 2 I' — z mv — cv-i-zgv-i-'sr — 1 6 ) m ey' CT'*" sin {z v — z m p -k- cv — z gv — "ar-t- 29) me?' C^'' sin [ z V — z mv — cv — 1 gv -^ ta -H 26) SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. C(5')-)-C5>] sin {iv — imy — i c v -k- c' m u -i- 2 rsr — -ar' ) C(îs'-)- C'"' ] sin { 2 I' — imv — 2 ci/ — f' m v -t- i -ar -h-js-' ) 4 J 353 me'e' m e' e' m e e" m sin (21' — zmi' — cf — 2 c' m it -{-rar -i- l 'sr' ) — fJ'-t-2i:'ffii'-H'ar — 2 ^ar ' i m V - I -Y- 21s — 2 m m e'' y' C^'5' 'sin [2v — 2 mi' — 2 cv -Y- i gv me' y' C'" sin (21' — 2 mv -Y- 2 cv — zgv — 2'!!r-t-29) m e' C' '' sin [c' m v — rsr' ) mee'C^'^^ sin (cf — c'mv — 'sr-h'ar') met €'•">'> sin (ri'-l-c'mc — "Zst — 'Sr') m,- [CC'H-f:'")] sin (2c'mu — 2'a') me' c' [ C'"' -H c''* ] sin ( 2 r i' — c' mv — 2 -ar -1- -sr ' ) me'e' [ C("' H- C<''' ] sin ( 2 cj' -t- •= [CW)-l-c'5'] sin (2^)/ — f' mv — 2 e-H-ar') L — ' j; j ""• \ - ô ' - •■-■ mf' ;-=[(:(=!) -|-c sin ( 2 f 1/ — 2 -' C—fs' sin (cv — 2gv — iar-h29) me' y' C—C sin (2rj' — 2gv — 2'ar-H29) a m C<'°' sin ( V — mv) a' a m . — «Cl"'' sin [v — mv — cv-^'sr) ti' a m — ;- e C'*' sin {v — mv-Y- cv — -ar ) a a m — 7-e' [ C<'î> -t- CC") ] sin [v — mv — c' mv -^is' ) a il m— r«' L <^<''" -4- C") ] sin (>' — mv-\-c' mv — W ) a a m — ^ff' [ C'' -1- Cl''' ] sin [v — mv — tv -^ c' mv ->r ris — -ar' a a ;«— 7- f e' [ C"'' -+- C<''> ] sin [v — mv — cv — c'mv- a a "1 — 7<«'C''=' sin (v — mv-^cv — c'mv — > sin ( 5 1» — 5 « " ) ni—yeC^""'! sm ( 5 v — jffif — fi'-H'Br) »i — ~ f' I" C*' = " -t- C''""' ] srn ( ; r — 5 m c — f' m :' -t- -ïr' ) a m — ^^' [ C'°'" -l-CC"' ] sin (3V — ^ mv-i-c' mv — -sr') a m (€'■"''> sin {4f — 4 ml' — cu-^-is-) m e' C-"^^ sin (4" — 4»!»' — z cv -i- 2 /sr) me^C^'^^'' sin (^f — 4 ml' — ^ cv -\- ^'nr) m ««' [ C<'3'' -j- Cf '' ] sin (41' — 4 m v — cv — c' mv -i-tar -^la') m ee' [ C'"'' -H C<'") ] sin (4" — 4""' — cv-{-c'mv-\-'ar — is') »!«'«'[ C'"*'' -t-C'<'=5''] sin (4^ — 4ml' — zcv — c' mv-i- ziar -\-'Zir') »ji;'c'[ C<'^'' -f-CC'!' ] sin (4r — \mv — z cv-^- c' mv -^ z'sr — -ar') . En muitipliant ia série précédente par j sin [c' mv — 'zir' ) , on obtient ia variation S^ u' de // . Il faut observer que, dans C'^', <7'^', C'" , C'^' , on ne considère que ia partie indépendante du mou- vement elliptique. 0. Si, dans l'équation différentielle développée qui donne le rayon vecteur, on substitue les suites qui représentent les valeurs de « , J^//, ^s, S^v' , S^u, et des diverses fonctions qu'on vient de considérer, on aura d'abord parla comparaison des termes constans, — ('-+-/+/' f'') — - f/-t-/ '") étant eeal a m' O -*,<'>[ I -t-Af.= j _!<.-. (i^(.<;i,4(,^)_^, .;^;,8)^(. 8)^^=;, (.,)^(,,)j [i I 2(1 — 2m-t-<")(î — zm-\-c]\- 3 . j "1 I s \ — rif,-t-2m + 2<:-4- (' — -" — -J^XiJ- -"' — -') U,(H) _!,(■>;,«■) L4^tîi)/,_£,,\ SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. 35 J [3/ 2(1 — ;m — fXî — 5 m — f)\. ! - _ -1 [if ^ {' — "' — <:){i — w — '] \- i - - "1 -(n-mH-f+— ^ ^_ _ )*4<"'— -f": (*,('« — e' *,<>■:) \e'e 4\ - — m — c I z ' ' ''J 3 4 ~ mi,<-°^-e" €'■''''■+ -me' e" ï^W ( CC») _ CTCi» ) 4 Dans cette expression on désigne par .v et s'°\ les valeurs de -r,- et celle de s'°', divisées par . En comparant les termes dépendans de l'angle cv — -sr, on aura ■j-^^ (/' + ?«" I étant égal à 4 3 4 3 4 6,i<-' I (1 — 2m — c)(i — zm — c) \ I I -H 2 m -t- £ H '-12 L ) .V (;=' / (1 — 2 m — i:)(j — 2 m — c) \ 2 f «(il 5 ,„(!) j-ij," : '_ e' !<'■ X .'••'^'i -\ 1 J-^ï (3* XV* 35« iH m — f + MEMOIRE , I — 2m-l-f){5 — 1 m -i- c -^ z m — f -H 1 — m ( 1 — 2 m -t- f ) ( 3 '■h 1 -1- i m -f « K ." -t-f! — im-+-i j(i— 2m)(j— 2m)\ j/ 2(1— îm)(2 — ;m)\ ,■) i:3«) \ 2(1 — 2 m — î<^){3 — 2m — 2''— J-.'">1 f- f-'l X — ls 4 ' Cii-'i 1 2 + i e" e' x,^'' A'*''' 2 2 2(r— 5ot)(;— 3m) 2(1— f-(-m)(.+(-— m)^ I -\- z m -Y- c -+- -h\ - 1 -H 2 m -H f -H 1 — ^ m ~i- i m : {1 — m) (5 — »i] 2([ — c — m)i -t — m] \ t ai'-'' 1 .i'M'î'U" 358 MÉMOIRE I' 7 I 2(1 — m)(i-f-m) {1 — zm — <:)[: — im — c] \ r î«'°' > z \ c — m I — m I c il 2 ( 1 — m) ( 1 -t-m) [i — zm — c){i — im—c)\ iî\ c-\-m \ —m I fî/ ^(' — i'" — <")(< — î" — <) ^(1 — '")('-t-'")\ , iîk(°' T , -K - ,-H,,„-t-f-)- J ^ ili_J i i '-1 J ):f,(i')-t. ^ x,<î»' ('M»':y4<"- L-\ - — ', m c -+-m I c J r?/ -(' — m — <^) ( ; — '« — c\ :(i — m)([-»-m)\ iJHi=' T -H - <-{-im-\-c-\-— '— '- ^ '■ )*,';'; _^. _; ^^(îo) L'M<»U(") \_2. \ i — m c — ml c J (ift — n-m)(i+f — m) 2(( — 2»j)(î — 2»') \ i5«'') '\ , -Hjm-^-i- J ^ -^ + J ^12 >. ).v,(H!_ J (,,(îî)_^^04;) J W i( ,_f-4-„,) (, -4-f_„, ) :(,_z/n)(; — 2»,)\ ( H - ( 1 -♦-;«-)-(■ 1 )■>■<' 1 i\ m 2 — 2 m -\- c 1 ) lit 2{i — c — m)(i+c-|-CT) 2(, — ,»,)(! — im)\ ij«W 1 + )'-^ "' 2-2™+. ; c U^o.Mc; l+lf,_^„ 2(, -.-«)(■+. -^^) ^ 2(,-2;„)(3-2«) y^ ^^ï ' 2 \ m 2 — z m — c / ) Tij/ 4(1 — 2w;j(3 — ïm) (i — zm — c) h — im — c)\ 4r«'°' 1 L"\ - — z m~hc 1 — m I c J L f \ (i_m)(i— m — t) / zc J OU tire de celte équation I — r= J — ( I -^- p -\- (j e" ) 1 . Cette valeur de i — c n'est pas constante , à raison de la variabilité de (•'; et si l'on observe que p et q sont fonctions de i — c et de m fonc- tion de f \ on aura, - '] -à t -^ - \ / „: J ^ , _ , •, =^ \ IJ L et par conséquent le mouvement du périgée J [\ — c)dv contient l'équation séculaire, SUR LA THÉORIE DE LA LUNE. j 5^ ^^ll Tn, )'"'' [■-•-.[''i^)] f ie" — E")dv { i -^ p-k-qe' '] A' étant le coefficient de l'équation séculaire du moyen mouvement, que l'on déterminera dans la suite , et E l'excentricité de la terre à ime époque donnée. La comparaison des cosinus des divers angles donnera ensuite , entre les quantités indéterminées qui forment les perturbations du rayon vecteur, les équations, 0=1".— 4i' — î lCi'''A /4(=! -I- - A'.'^i — i jl'lj-' [ 5('') — 5!'8) ] r 3 / 2 ( I — 2 m — i ) ( j — 2 m — f ) \ 6 K <°> 5 -1 L4\ , — .m-^c ) zc ' 2 ' J VU ^ . ^(i — ^'"-t-0(3--"'-t-r) ^ <;„(-' 5 ,,.,1 , -. — - I -t- 2 m — c -\ )>'4 ' A- •''' /-".»■>'' \A ■' L 4 V ,_,,„_ f / :,c ' - J - 1+2/»-! .ïj<>s>-|-- r-i-2mH i I ï.t'*' / 4\ ,_M_c y 4V ,_„_j_f y I _i (.,^(îS)_^^Cî«))_i,(0(;t^(5')_:,.^(!=)) j [;/ (i — 2»; — 2f)(; — zm — 2 r ) \ ■;«<"' "1 il , _H î„, _H 2f -f- ^-i^ \ i-^<î») 4- 1 :i.^li-) 1 ^(î^) f!/ (1— 2 w; -H 2 (-)(;— 2 m H- 2 f) \ !;<(" "l 5 r «'"' < n î r k*"' i ï (!) . AW ^ „(î) ^ ^_ 1 .r,(!) _ 1 ,,^(''e=^!ii 4o°'=— ' 2 ' 4 vu , ('— 2"' — î^)(3 — -'" — 2^) \ „.)_._ 5"*°' «.il <») XJ.) I .4!J jéo MÉMOIRE -( i-\-im-\ U4" '-t- - 1 -t- 2m -+- pf/ y4('«) = r, _ 9r' -{.''., ] --!"• -+-;*,<« [! / 2(1 — im — 2()(; — im — 2f) \ iji'"' i . "1 • -*\ 2_.m-Hf / c '.rl'-é-i. .:.J. L4\ r— m-(-f / f 2 J [;/ (1 — 2ffl — îflf; — 2'" — 5f)\ 2« ° "I = r 1 _ { f — 2^ )= — - »■/=" 1^1»-)-- *,i5' — - *-^c: ( -•!■'■ -H f= ^"' ) !/ 2( 1 — 2m — 2«-) (3 — 2m— 2»-) \ \ - l+2ffl + 2^H J-j(-'' / iV 2 2?n C / I C—Zg ' 2 2, ' _ -» 4\ ,—m—g j c—ig 2 f J L4\ \—m-^g I i—ig \2 f / J 4\ 2 — 2m — c-^zgl 4\ 2 — 2m-H — jr,"') )] SURLATHÉORIEDELALUNE. 361 5 / I ( 1 — 1 m -1- 2 ir ) ( î — î OTH- 2 ^ ) \ , 1 4 \ î — im -i-c I I . > ^(î^' '—2^ 22 ; • 4 3 r , - -"■'' 1 î r 2H<') -1 - L f— 2^ J 2 L " c—-g J 2 L f— 2^ 2 J 3 r xu'-'- K , 1 2 L ' — -i' ': 2 J r/ (2 — 2m — c) { I — 2m — c)(; — zm — c]\ s "1 xe'\ I +2m + fH '-^ iii ^ .V (îO_i.,(.)^ 0») U(S)/i(>') L\ , ( ,_m_j,)( , _w_f_l-^) ; > J J r 4 ( i — w; ) ( 1 — 2 ï« ) ( 3 — 2 m ) -] 3 1 -H 2 m + L (2 — 2 m — f-t-2^) ( 2 — 2 œ-Hf— 2^) J (îc)^{!)^(!0) / I . (l— 2C+2^){l+2f— 2^) (1— 2m— f)(3_im_f)\ ^M-m c-i 1 , .ï (> \ 2 2 c i — 2m ZC-^-lgj 5,' \ ;^(v)^,5. ,-l(îo! ^,,; r {'-—-.«')(■— -"')(> — ^"0 ,. , A«'°' r\ 3 m .V '>"> A' 15' L (2— 2m— fH-2^) (2— 2m+f— 2^) c—zg J 3 r / { 1 — 2 m — f ) ( ; — 2 m — c) \ 8 h ''' ,"] — -meM 1 H- 2 m -H r H '■ -\ ' ^^°^ *<""' U"''?" 4 L\ ,_m_c-H-^ y f_;^ J r (f_2^^)( .— 2m — r)(3 — 2m— ,<;•«(■» -1 ; r^ ^ -vj'" ^ A-,"" K4"') c(i' L ( , _m— ^)( 1 — m — c-)-^) o—zg J - — m f 4 = r , — ( f + 2i' )' — - ^-4'=' 1 ^<" -t- - A-,(') — iî('>-5(î) I , Savatis étrangers. Z l .^(;.) ^61 MÉMOIRE o = r , — ( :.-— I e )' — - vV'M -^'"' H- - A-,'^> + - jC>5<") _lj(°) 5(=1- _l,^(0^(s) L ' i J I ' - 4 4 4 V ' ._2M— <• y C—g Z J [;/ 1(1 — im — c--t-î"')(î — im — <-l-Je) \ 3 «'°' 3 "1 rj/ l , — ;,„-t-2C — 2j-)( ^— 2»/-t -2,— ig-)\ 3«l" ,.„,"1^,,,, L4\ ' '— "' / '—g J 14 \ i—m-\-g J c—g \ zc z / J ; / 2(1 — z m — c: ) ( ! — 2 OT — r) \ ; h !°' 4 \ 2 — 2;n-t-f— 2 o^ / c — g ( 5/ 2 ( . — 2m-4- ( ? — =^«_+f) \ n^ 3-"'°' ,4., 'l\ a — 1 m — -t-2o- / r — » . / -t \ o ' s 1 ^(,,, 3/ (,_;,,„) (3 — ,;;,) \ J/ (,_,„,) (5_,„) \ - I -4- 2 m H i I Jr J'î' H I 1 -t- 2 m H ^4 4\ \—m — c-hg/ 4\ i—m-hi—gj _ ( iJ!!l _!,= )( A-,'» - ..,<^" ) - ^ /'■' ( .•,,»■; - :.5"»M \ 2C 2 / 2 _ri(. ^.,„+.„.^ (,-2.,-2,)(,-2.,-2^)N ^^^,.„_J:^ „,_ 3 ,„> ,„ -1^,,, L 4 V , —m — c / c— ^ 2 J _rif, +.,„_. .-^ (^-2«^^2^K3-2«^)X ^.^,,,,^ ^ ,„^ 5 ,,„,,, -|^„, L4\ 1 — m-+-. / c — g 2 J _Hi„rv(i"_JL!l ;,<..)_ ^.,v^(P)] ce*') H- 1„, r ;,,()=)+ JlîL:f,(3=)-H-,C),,(;')lc(i') 2 L <^—g ^ J i L c— ^ 2 J («4)1 SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 363 i r - m x .(•) 1 (:<«" H- - m r.v,' ,^(3-) (:<«" — ^ o) T (-;(<14! [„(•) , „(;) -I c—g 2 îf J ,,..(36) .v/jS) + - .v^(; : ( /;) J C'-'^ r kW «(!> I I 1 L ' '^— ^ ^f 2 2 J ; r «'"'' I / K '=' \ 1 ~\ -t-im ,V,<5«' -h-m\ jr,tt«) CO") 3 r B<°' I "1 r /i'°' I T .!,„ ï,(Si) ;f^(30__,!.).v/30 \Ci' ■+-,„{ xJ>''-\ .v,!î') +-/(".>•/'" C(î" 2 L ' f— ^ 2 J : L £■— ^ - J -,X^'^' 1 + 3 m -+- — \A'-' L .— œ — f-+-^ 1— m-vf— ^ J 3*-, ("M (5 "/}("«) (; -m -l-c — g -+- ( , _œ — f-+-^){ 1 (. — 2m — C)(3 — 2M — f (,_f+2^^)(l-t-f— 2») 1£1)V M"). /4(î'M 2 — ifn ZC-\-2g ,4;î°M(s) ^0 -t- J --t-m-4--ir — ^- i — 2m)(; — im) (i — <:-{-ig]{i -\-c—ig) ■4 3 -t-m-l--<:— "■-+ 2 {i—im—ic]{)—zm—ic) {i—c-i-zg){i-i-c—zgj -zm — zg > — - '" — 3 3^5 (;„(=)a- (Î-) I — m- i),,„, I i( I -\- 1 m — r-H-j?- ,4i4i) I — m C -).,» j c;«'»A-,(î>) 5^ i( 5 L .V (i'i rciH — = ^ ^ \ '— i; / {i — 2/H + ;i- — iir)(3 — im-Hlc — 2^1 \ i A- ,, î " 1 -t-;m — ;c-t- 2 o-H- ôk'^'j ^r-l-' ri r_2^ ('-^) ^'4!) /j;«i il I -H 2m -H 2C — 2 iî" - -(l -2m — 2C-(-2^)(3— 2«( — 2f-l-2^) 2 2»t-t-f ^)..^ (Ϋ"!a: >-> ;( 7( I -(-- 2 m -H ( I — 2 m ) ( 3 — 2 m ) \ 4( ,'■■' H ) -f- — r->' ).V;'!5) 3 f— 2^ 2 \ r— »^ / \ ^ t / 3 / ^ _^ 2( ,— 2m-2j;)(3-2«-2») \ 4 \ 2 — 2 m — 3 c / .4 '=> 6„W.ï.»5' 3 / "'" \ ^66 MÉMOIRE -f- — m :«■,('«' H H — :r/") (/'.■)_, \ *^(î» I ,(» j C(3S) H-2.ffl .,-.;»> * 1 — x^ 9 ;(,_2,»— c){5— 2m — f) 3 \ \\i 2 2 — 2m-t-2i: — ig c I H ^/3 '; ;(i— 2m— 2f)(;— 2m— 2f) j \ , --H3m-t--f— i^-H {'— ^-H-i' (n-f— 2^))Arj'i°' \2 2 2 — :w;-(-f— 2i,- 21: / ' H 01 ^(iO^CJ) !> l , (,— 2m— c)(3— 2m— f) (,_f-t.2o.)(,-Hf_,^)\ 2 \ ,— m-^-<:— »• c , / I -t- H J^c'' ' I f'^'H >'"—-.«' 4 \ '^—gl .<">/ n/ , 2(— 4m)(i— 4m) \ \ - I H-4mH J.r," , 4 j 6at°' (H *,<"' m > / 2( r — 2m)(5 — 2m) \ „ 5 / 2 { I — 2 m) (;— 2m) \ ôi/i" \ — I -t- 2m H 1^ pf r'" (j: (iî:— ^ (5«) > ^i;°) 4 \ - — "' / "' / ;/ 2(1 — 2m — f)(5 — 2m — c) \ 4\ 2 — 3m — i / i/ -(■ — -'« — c)(î — 2 m — c] \ 4 \ 2— m — <: / 6 u (°) , t( SUR LA THEORIE DE LA LUNE. 367 1 -f- z m — c 1 H- 2 w — c - '^)- ^)...^ ' ) .4<'='f (A-i«°>— Ï,M=)) -H ± ,C)(^,(Î3)^..,.^(Î4)) t( « ff (°> f( 1 H- 3 m -H 2 f + — 3 "' — ^0(3 — 3"' — -O I — m — c (.1,4 in) -H 2 m -f- 2 £■ -H 2 ( , _ 2 /« — 2 f ) ( 3 • 2 — 3 m _ 2 , 2 ( 1 — 2 m — 2 f ) ( 3 — 2 m — 2 f ) 2 — m — 2 c ) 6 „ l" / 21—2»; — 2f3_2m — 2<:\ \ 2 — m ^ 2 c / (.V,(>!)_j.,(sO) L ,(0 (^.,(î9)_^ï,(4.)) 3 —7"' 1 J^.t'°'H ^ (i-.(îc)_f'=^..(4î)) ^ ^. s«,l.)(,j!î.)_,,j(î=))l4(3î) «»(') 5(3») -I- J_ «^,(0 (,,(;i)_j.5l!=)) 1 ^(î4) ^ 2 ( ] — 3OT — i) ( 3 — j ,„ _ , ) t( f ,H-3^-^ + -+ M. -3^-0(3-3»'—) \ \ i — 2 m — c I 2 ( , _ ,„ _ f ) ( 3 _ ,„ _ f ) V (î') 6//('> 1 H- m -H- c .v<(î'> ^- fOj-, 4\ 2 — 2m + r y 6«<=l -H I -H W! — c L ,(.)i.j()o) 2 2( 1 — m-)-t-) (5 — m-Hf) 6ï/(») f= /}<■"' «=^<") ^=^(4.) (.^^(4=) ;f (î=) _^ 2- ,('), (jo) 368 MÉMOIRE -^ (.v.I"'-1-a-.«"-Hîa:j(î'')+ -11— f .r^fJ»;—!-^"') — i- *4(î'> j 4 m«'C<î') me' C^i'> '■ C"'"' 4 . [J- ;,.(!:. L! i.,00 L ,:'.A-4':-; 1 ;«t'( L 2 • m * 4 J . r± A-.(i': -H ^"° *4(î'' — — ;(■),, <î°: l m^'CM L 2 ' ,« * 4 J . 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